在一个旋转系统裏,作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 、位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 、动量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 、角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} ,這些物理量之間的关系。 力矩 (moment of force [ 1] ,moment[ 2] )在物理学 中,是作用力 促使物體繞著轉動軸 或支點 轉動的趨向[ 3] ;也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说,力矩是一種施加於例如螺栓 、飛輪 一類的物體,或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如,用扳手 的開口箝緊螺栓 或螺帽 ,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
使机械元件转动的力矩又称转矩 (turning moment[ 4] ,moment of rotation[ 5] )即转动力矩 ;在材料力学 、土木工程 和建筑学 中,作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩 ,称为扭矩 [ 6] (torsional moment,torque),而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩,则称为弯矩 [ 7] (bending moment)。
力矩能够使物体改变其旋转运动 。推擠或拖拉涉及到作用力,而扭转則涉及到力矩。如上图,力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 等於径向向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 与作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 的叉積 。
根據国际单位制 ,力矩的单位是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米 。本物理量非能量,因此不能以焦耳 (J)作單位;根據英制单位 ,力矩的单位则是英尺 ⋅ {\displaystyle \cdot } 磅。力矩的表示符号是希腊字母 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} ,或 M {\displaystyle \mathbf {M} \,\!} 。
力矩與三個物理量有關:施加的作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 、從轉軸到施力點的位移向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、兩個向量之間的夾角 θ {\displaystyle \theta \,\!} 。力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以向量方程式表示為
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。 力矩的大小為
τ = r F sin θ {\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!} 。 用右手定則决定力矩方向 力矩 等於作用於杠杆的作用力 乘以支点 到力的垂直距离 。例如,3 牛顿 的作用力,施加於离支点2 米 处,所产生的力矩,等於1牛顿的作用力,施加於离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个向量 。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則 来决定,也可以用叉乘 计算。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[ 8] 。
假設作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加於位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量 F ⊥ {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 會產生力矩。這力矩 τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 的大小為 τ = | r | | F ⊥ | = | r | | F | sin θ {\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!} ,方向為垂直於屏幕向外。 更一般地,如圖右,假設作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加於位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。選擇原點為參考點,力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以方程式定義為
τ = d e f r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。 力矩大小為
τ = | r | | F | sin θ {\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!} ; 其中, θ {\displaystyle \theta \,\!} 是兩個向量 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 與 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 之間的夾角。
力矩大小也可以表示為
τ = r F ⊥ {\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!} ; 其中, F ⊥ {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 對於 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的垂直分量。
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質,可推論,力矩垂直於位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 和作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。
地心引力 F g {\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!} 的力矩造成角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 的改变。因此,陀螺 呈现进动 現象。 假設一個粒子的位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ,動量為 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 。選擇原點為參考點,此粒子的角動量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 為
L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!} 。 粒子的角動量對於時間的導數為
d L d t = d r d t × p + r × d p d t = v × m v + r × m d v d t = r × m a {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!} ; 其中, m {\displaystyle m\,\!} 是質量, v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是速度, a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是加速度。
應用牛頓第二定律 , F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!} ,可以得到
d L d t = r × F {\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。 按照力矩的定義, τ = d e f r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} ,所以,
τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!} 。 作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 對於時間 t {\displaystyle t\,\!} 的導數。
假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的合力矩 τ n e t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!} 共同決定角動量的對於時間的變化:
τ 1 + ⋯ + τ n = τ n e t = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!} 。 關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,
L = I ω {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!} ; 其中, I {\displaystyle I\,\!} 是物體對於固定軸的轉動慣量 , ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 是物體的角速度 。
所以,取上述方程式對時間的導數:
τ n e t = d L d t = d ( I ω ) d t = I d ω d t = I α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!} ; 其中, α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 是物體的角加速度 。
力矩的定义是距离 乘以作用力 。根據国际单位制,力矩的单位是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米 [ 9] (Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局 (Bureau International des Poids et Mesures )规定这次序应是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米,而不是米 ⋅ {\displaystyle \cdot } 牛顿[ 10] 。
根據国际单位制 ,能量 与功量 的单位是焦耳 ,定义为1牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积 距离的标量;而力矩是距离叉积 作用力的向量。当然,量纲 相同并不尽是巧合,使1牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米的力矩,作用1 全转 ,需要恰巧 2 π {\displaystyle 2\pi \,\!} 焦耳的能量:
E = τ θ {\displaystyle E=\tau \theta \,\!} 。 其中, E {\displaystyle E\,\!} 是能量, θ {\displaystyle \theta \,\!} 是移动的角度,单位是弧度 。
根據英制 ,力矩的单位是英尺 ⋅ {\displaystyle \cdot } 磅。
矩臂图 在物理学外,其他的学术界裡,力矩时常会如以下定义:
τ = ( moment arm ) ⋅ force {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!} 。 右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} (force)。这个定义並没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。
当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
∑ F x = 0 {\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!} , ∑ F y = 0 {\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!} , ∑ τ = 0 {\displaystyle \sum \tau =0\,\!} 。 这里, F x , F y {\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程式 有解,则称此系统为静定 系统;不然,则称为静不定 系统。
假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功 。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功 。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,
W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!} ; 其中, W {\displaystyle W\,\!} 是機械功, θ 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 、 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} 分別是初始角和終結角, d θ {\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!} 是無窮小角位移元素。
根據功能定理 , W {\displaystyle W\,\!} 也代表物體的旋轉動能 K r o t {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!} 的改變,以方程式表達,
K r o t = 1 2 I ω 2 {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!} 。 功率 是單位時間內所做的機械功 。對於旋轉運動,功率 P {\displaystyle P\,\!} 以方程式表達為
P = τ ⋅ ω {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 。 請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。
實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度 (不是每分鐘轉速 rpm,也不是每秒鐘轉速)。
力矩原理 闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理 (Varignon's theorem )[ 11] (以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農 命名),以方程式表達,
( r × F 1 ) + ( r × F 2 ) + ⋯ = r × ( F 1 + F 2 + ⋯ ) {\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!} 。 ^ https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2 ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始内容存档 于2023-05-19). ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers . 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8 . ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始内容存档 于2023-05-19). ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始内容存档 于2023-05-19). ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始内容存档 于2023-05-19). ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始内容存档 于2023-05-19). ^ *喬治亞州州立大學 (Georgia State University )線上物理網頁:力矩的右手定則 , [2007-09-08 ] , (原始内容存档 于2007-08-19) ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] , (原始内容 存档于2007-05-19) ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] , (原始内容 存档于2005-03-16) ^ Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64 线性(平动)的量 角度(转动)的量 量纲 — L L2 量纲 — — — T 时间 : t s 位移积分 : A m s T 时间 : t s — 距离 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m 面积 : A m2 — 角度 : θ , 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr T−1 頻率 : f s−1 , Hz 速率 : v , 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1 頻率 : f s−1 , Hz 角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1 T−2 加速度 : a m s−2 T−2 角加速度 : α rad s−2 T−3 加加速度 : j m s−3 T−3 角加加速度 : ζ rad s−3 M 质量 : m kg ML2 轉動慣量 : I kg m2 MT−1 动量 : p , 冲量 : J kg m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s ML2 T−1 角动量 : L , 角衝量 : ι kg m2 s−1 作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s MT−2 力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2 力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m 能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J MT−3 加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3 rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W