馬克斯·普朗克 普朗克單位制 是一種計量單位 制度,由德國物理學家馬克斯·普朗克 最先提出,因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制 的一個實例,將某些基礎物理常數的值定為1,這些基礎物理常數是:
真空光速 c {\displaystyle c} 萬有引力常數 G {\displaystyle G} 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 將 4 π G {\displaystyle 4\pi G} 定為1,普朗克高斯單位制 將 G {\displaystyle G} 定為1 狄拉克常數 ℏ {\displaystyle \hbar } 真空電容率 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 將 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 定為1,普朗克高斯單位制 將 4 π ϵ 0 {\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}} 定為1 波茲曼常數 k B {\displaystyle k_{B}} 上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論: c {\displaystyle c\,\!} 在狹義相對論 、 G {\displaystyle G\,\!} 在廣義相對論 與牛頓 的萬有引力定律 、 ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 在量子力學 、 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!} 在靜電學 、 k B {\displaystyle k_{B}\,\!} 在統計力學 與熱力學 。实际上,以上的五个常数在許多物理定律的代數表達式中多次出现,因此引入普朗克單位制可以将這些代數表達式简化,普朗克單位制也因此成为了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究,特別如量子重力學 中,普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。
普朗克單位制是一種獨特的自然單位制,因為普朗克單位制不是以任何原器 、人體 的性質(例如:發光強度 (燭光 )、光通量 (流明 )、等效劑量 (西弗 ))、地球 或宇宙 的性質(例如:標準重力 、標準大氣壓 、哈伯常數 )、特定物質 的性質(例如:水 的熔點 、水 的密度 、水 的比熱 )、或甚至基本粒子 的性質(例如:基本電荷 、電子質量 、質子質量 )來定義的。普朗克單位制只以自由空間 的性質(例如:真空光速 、自由空間阻抗 、波茲曼常數 )來定義及作為歸一化對象。
有些學者認為普朗克單位制比其它自然單位制更為自然。例如,有些其它自然單位制使用電子質量 為基本單位。但是電子 只是許多種已知具有質量的基本粒子之一。這些粒子的質量都不一樣。在基礎物理學裏,並沒有任何絕對因素,促使選擇電子質量為基本單位,而不選擇其它粒子質量。
物質的量 (莫耳 )的自然單位就用「個」(一個就是1)就可以了,不必用到「莫耳」,而發光強度 (燭光 )的自然單位就用「瓦特 /立弳 」就可以了,因為這兩者的比值僅為發光效率 ,而發光效率是沒有單位因次的,就跟角度 (弳 )以及精細結構常數 一樣,另外電荷的部分,雖然SI制的基本單位是電流 而非電荷 ,但是實際上,電荷才是更基本的單位(就好比重力米制 的基本單位是力 而非質量 ,但是實際上,質量才是更基本的單位)。
(或者你也可以這樣說:普朗克單位制也將亞佛加厥常數 N A {\displaystyle N_{A}} 定為1,從而用「個」(一個就是1)作為物質的量 的單位(對應國際單位制 的莫耳 ),並且普朗克單位制不考慮發光強度 (對應國際單位制 的燭光 ),僅以輻射強度 (對應國際單位制 的「瓦特 每立弳 」來表示,就好比普朗克單位制不考慮等效劑量 (對應國際單位制 的西弗 ),僅以輻射劑量 (對應國際單位制 的戈雷 )來表示,在普朗克單位制中,發光效率 屬於無因次量,就跟弧度 和立弳 一樣)
每一個單位制都有一組基本單位。(在國際單位制 裏,長度 的基本單位是公尺 ,時間 的基本單位是秒 ,等等)在普朗克單位制裏,長度的基本單位是普朗克長度 ,時間的基本單位是普朗克時間 ,等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。
表1:基礎物理常數 常數 符號 因次 國際單位等值與不確定度[ 1] 真空光速 c {\displaystyle c\,\!} LT−1 299 792 458 m s−1 萬有引力常數 G {\displaystyle G\,\!} L3 M−1 T−2 6.674 30(15)×10−11 m3 kg −1 s−2 約化普朗克常數 ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} L2 MT−1 1.054 571 817…×10−34 J s 真空電容率 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!} L−3 M−1 T2 Q2 8.854 187 8128(13)×10−12 F /m 波茲曼常數 k B {\displaystyle k_{B}\,\!} L2 MT−2 Θ−1 1.380 649×10−23 J K −1
字鍵: L {\displaystyle \mathrm {L} \,\!} = 長度 , T {\displaystyle \mathrm {T} \,\!} = 時間 , M {\displaystyle \mathrm {M} \,\!} = 質量 , Q {\displaystyle \mathrm {Q} \,\!} = 電荷 , Θ {\displaystyle \Theta \,\!} = 溫度 。因為定義的關係,光速、約化普朗克常數與波茲曼常數的數值是精確值,不存在誤差(在2019年以前,約化普朗克常數與波茲曼常數的數值還不是精確值,反倒真空電容率的數值是精確值,只有光速從1983年以來一直都是精確值,見2019年國際單位制基本單位重新定義 )。
表2:基本普朗克單位 單位名稱 因次 表達式 國際單位制 等值 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 普朗克高斯單位制 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 普朗克高斯單位制 普朗克長度 長度 (L) l P = 4 π ℏ G c 3 {\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}} l P = ℏ G c 3 {\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}} 6965572938000000000♠ 5.72938 × 10−35 m 6965161623000000000♠ 1.61623 × 10−35 m 普朗克質量 質量 (M) m P = ℏ c 4 π G {\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}} m P = ℏ c G {\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}} 6991613971000000000♠ 6.13971 × 10−9 kg 6992217647000000000♠ 2.17647 × 10−8 kg 普朗克時間 時間 (T) t P = 4 π ℏ G c 5 {\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}} t P = ℏ G c 5 {\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}} 6957191112000000000♠ 1.91112 × 10−43 s 6956539115999999999♠ 5.39116 × 10−44 s 普朗克電荷 電荷 (Q) q P = ℏ c ϵ 0 {\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c\epsilon _{0}}}} q P = 4 π ℏ c ϵ 0 {\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \hbar c\epsilon _{0}}}} 6981529081999999999♠ 5.29082 × 10−19 C 6982187555000000000♠ 1.87555 × 10−18 C 普朗克溫度 溫度 (Θ) T P = ℏ c 5 4 π G k B 2 {\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}} T P = ℏ c 5 G k B 2 {\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G{k_{\text{B}}}^{2}}}}} 7031399674000000000♠ 3.99674 × 1031 K 7032141681000000000♠ 1.41681 × 1032 K
使用普朗克單位後,表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1,因此表2的普朗克長度,普朗克質量,普朗克時間,普朗克電荷,與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為
(普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 )因為 c = 4 π G = ℏ = ϵ 0 = k B = 1 {\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{B}=1\,\!} ,所以 l P = m P = t P = q P = T P = 1 {\displaystyle l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!} 。
(普朗克高斯單位制 )因為 c = G = ℏ = 1 4 π ϵ 0 = k B = 1 {\displaystyle c=G=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\,\!} ,所以 l P = m P = t P = q P = T P = 1 {\displaystyle l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!} 。
在任何單位系統裏,許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上,大多數普朗克單位不是太大,就是太小,並不適合於實驗或任何實際用途。
表3:衍生普朗克單位 單位名稱 因次 表達式 國際單位制 等值 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 普朗克高斯單位制 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 普朗克高斯單位制 普朗克面積 面積 (L2 ) A P = l P 2 = 4 π ℏ G c 3 {\displaystyle A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}} A P = l P 2 = ℏ G c 3 {\displaystyle A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}} 6931328258000000000♠ 3.28258 × 10−69 m2 6930261220000000000♠ 2.61220 × 10−70 m2 普朗克動量 動量 (LMT−1 ) p P = m P v P = ℏ l P = ℏ c 3 4 π G {\displaystyle p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{4\pi G}}}} p P = m P v P = ℏ l P = ℏ c 3 G {\displaystyle p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}} 7000184064000000000♠ 1.84064 N⋅s 7000652489000000000♠ 6.52489 N⋅s 普朗克能量 能量 (L2 MT−2 ) E P = m P v P 2 = ℏ t P = ℏ c 5 4 π G {\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}} E P = m P v P 2 = ℏ t P = ℏ c 5 G {\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}} 7008551809000000000♠ 5.51809 × 108 J 7009195611000000000♠ 1.95611 × 109 J 普朗克力 力 (LMT−2 ) F P = m P a P = p P t P = c 4 4 π G {\displaystyle F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}} F P = m P a P = p P t P = c 4 G {\displaystyle F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}} 7042963122000000000♠ 9.63122 × 1042 N 7044121029000000000♠ 1.21029 × 1044 N 普朗克功率 功率 (L2 MT−3 ) P P = E P t P = ℏ t P 2 = c 5 4 π G {\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}} P P = E P t P = ℏ t P 2 = c 5 G {\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}} 7051288737000000000♠ 2.88737 × 1051 W 7052362837000000000♠ 3.62837 × 1052 W 普朗克密度 密度 (L−3 M) d P = m P V P = ℏ t P l P 5 = c 5 16 π 2 ℏ G 2 {\displaystyle d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}} d P = m P V P = ℏ t P l P 5 = c 5 ℏ G 2 {\displaystyle d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}} 7094326456000000000♠ 3.26456 × 1094 kg/m3 7096515518000000000♠ 5.15518 × 1096 kg/m3 普朗克角頻率 角頻率 (T−1 ) ω P = θ P t P = c 5 4 π ℏ G {\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}} ω P = θ P t P = c 5 ℏ G {\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}} 7042523254000000000♠ 5.23254 × 1042 rad/s 7043185488999999999♠ 1.85489 × 1043 rad/s 普朗克壓力 壓力 (L−1 MT−2 ) Π P = F P A P = ℏ l P 3 t P = c 7 16 π 2 ℏ G 2 {\displaystyle \Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}} Π P = F P A P = ℏ l P 3 t P = c 7 ℏ G 2 {\displaystyle \Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}} 7111293404000000000♠ 2.93404 × 10111 Pa 7113463325000000000♠ 4.63325 × 10113 Pa 普朗克電流 電流 (T−1 Q) i P = q P t P = c 6 ϵ 0 4 π G {\displaystyle i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}\epsilon _{0}}{4\pi G}}}} i P = q P t P = 4 π c 6 ϵ 0 G {\displaystyle i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi c^{6}\epsilon _{0}}{G}}}} 7024276844000000000♠ 2.76844 × 1024 A 7025347893000000000♠ 3.47893 × 1025 A 普朗克電壓 電壓 (L2 MT−2 Q−1 ) U P = E P q P = P P i P = c 4 4 π G ϵ 0 {\displaystyle U_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\frac {P_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi G\epsilon _{0}}}}} 7027104296000000000♠ 1.04296 × 1027 V 普朗克阻抗 阻抗 (L2 MT−1 Q−2 ) Z P = U P i P = ℏ q P 2 = 1 c ϵ 0 = c μ 0 = μ 0 ϵ 0 = Z 0 = 1 Y 0 {\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{c\epsilon _{0}}}=c\mu _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=Z_{0}={\frac {1}{Y_{0}}}} Z P = U P i P = ℏ q P 2 = 1 4 π c ϵ 0 = c μ 0 4 π = μ 0 16 π 2 ϵ 0 = Z 0 4 π = 1 4 π Y 0 {\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi c\epsilon _{0}}}={\frac {c\mu _{0}}{4\pi }}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}={\frac {1}{4\pi Y_{0}}}} 7002376730000000000♠ 376.730 Ω 7001299792000000000♠ 29.9792 Ω
註: Z 0 {\displaystyle Z_{0}} 為自由空間阻抗 , Y 0 {\displaystyle Y_{0}} 為自由空間導納 。
嚴格地說,不同因次的物理量,雖然它們的數值可能相等,仍舊不能用在相等式的兩邊。但是,在理論物理學裏,為了簡化運算,我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化 。表4展示出普朗克單位怎樣通过無因次化使許多物理方程式變得更簡單。
表4:物理方程式與其無因次形式 通常形式(國際單位制 形式) 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制 形式 普朗克高斯單位制 形式 萬有引力定律 F = − G m 1 m 2 r 2 {\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!} F = − m 1 m 2 4 π r 2 {\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!} F = − m 1 m 2 r 2 {\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!} 薛丁格方程式 − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!} = i ℏ ∂ ψ ∂ t ( r , t ) {\displaystyle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!} − 1 2 m ∇ 2 ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) {\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!} = i ∂ ψ ∂ t ( r , t ) {\displaystyle =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!} 普朗克關係式 E = ℏ ω {\displaystyle {E=\hbar \omega }\ \,\!} E = ω {\displaystyle {E=\omega }\ \,\!} 狹義相對論 的質能方程式 E = m c 2 {\displaystyle {E=mc^{2}}\ \,\!} E = m {\displaystyle {E=m}\ \,\!} 廣義相對論 的愛因斯坦場方程式 G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ \,\!} G μ ν = 2 T μ ν {\displaystyle {G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }}\ \,\!} G μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ \,\!} 一個粒子的每個自由度 的熱能 E = 1 2 k B T {\displaystyle {E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\ \,\!} E = 1 2 T {\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ \,\!} 庫侖定律 F = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2 {\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!} F = q 1 q 2 4 π r 2 {\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!} F = q 1 q 2 r 2 {\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!} 麦克斯韦方程組 ∇ ⋅ E = 1 ϵ 0 ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,\!} ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!} ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!} ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
∇ ⋅ E = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \ \,\!} ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!} ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!} ∇ × B = J + ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
∇ ⋅ E = 4 π ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ \,\!} ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!} ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!} ∇ × B = 4 π J + ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
Barrow, John D. The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe . New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218 .(這是本簡單易解的書) Duff, Michael, Comment on time-variation of fundamental constants , ArΧiv e-prints, 2002 [2008-09-11 ] , (原始内容存档 于2017-02-07).(這篇文章評論基礎物理常數可能隨時間而改變) Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, Trialogue on the number of fundamental constants , Journal of High Energy Physics, 2002, 3 : 023 [2008-09-11 ] , doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023 , (原始内容存档 于2015-04-15)(關於到底有幾個最基礎的物理常數的對話) Planck, Max , Über irreversible Strahlungsvorgänge , Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5 : 440–480 [2008-09-11 ] , (原始内容存档 于2009-04-03).(除了普朗克電荷與普朗克常數以外,普朗克單位最先出現於這篇文章裡面。) Penrose, Roger . Section 31.1. The Road to Reality . New York: Alfred A. Knopf. 2005. ISBN 0679454438 .