有限应变理论(finite strain theory)也稱為大應變理論或大形變理論,是连续介质力学中處理有較大應變或轉動的形變,已不符合无限小应变理论假設下的理論。此情形下,物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限应变理论常用於弹性体、塑性變形材料、流体及生物軟組織。
連續體的運動 物體的位移可以分為二個分量:剛體位移以及形變。
- 剛體位移包括物體的平移或旋轉,物體的形狀、大小都維持不變。
- 形變表示物體形狀或大小的變化,從未形變的組態
變成形變後的組態
。
連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場,可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變,若且唯若物體出現形變。若物體有位移,但沒有形變,即為剛體運動。
連續體的形變 位移梯度張量(deformation gradient tensor)
和形變前的組態以及目前的組態有關,可以從單位向量
和
中看出,因此其為二點張量。
可以定義二種位移梯度張量。
假設
有連續性,則
存在逆元素
,其中
為空間位移梯度張量(spatial deformation gradient tensor)。 根據隐函数定理[1],其雅可比判別式
是非奇點,也就是
。
物質位移梯度張量(material deformation gradient tensor)
表示映射函數或是泛函關係
梯度的二維張量( 映射函數或是泛函關係
描述連續介質的運動)。材料位移梯度張量可以說明位置向量為
的物質點的局部形變(也就是相對鄰近點的形變),其作法是對一個點的物質線元素進行线性映射,從原始組態映射到形變後的組態,其中也是假設映射函數
的連續性,也就是其為
和時間
的可微函数,也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得