欧拉函数 - 维基百科，自由的百科全书

  此条目页的主題是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。关于形式為${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$的函數，請見「歐拉函數 (複變函數)」。

在數論中，對正整數n，歐拉函數${\displaystyle \varphi (n)}$是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數^[1]（totient function，由西爾維斯特所命名）。

例如${\displaystyle \varphi \left(8\right)=4}$，因為1、3、5和7均與8互質。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。

1736年，欧拉證明了费马小定理^[2]：

假若 ${\displaystyle p}$ 為質數，${\displaystyle a}$ 為任意正整數，那麼 ${\displaystyle a^{p}-a}$ 可被 ${\displaystyle p}$ 整除。

然後欧拉予以一般化：

假若 ${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle n}$ 互質，那麼 ${\displaystyle a^{\varphi (n)}-1}$ 可被 ${\displaystyle n}$ 整除。亦即，${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$。

其中 ${\displaystyle \varphi (n)}$ 即為歐拉總計函數。如果 ${\displaystyle n}$ 為質數，那麼 ${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$，因此，有高斯的版本^[3]：

假若 ${\displaystyle p}$ 為質數，${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle p}$ 互質（${\displaystyle a}$ 不是 ${\displaystyle p}$ 的倍數），那麼 ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$。

以下為${\displaystyle n}$ 為${\displaystyle 1}$至${\displaystyle 100}$時，對應${\displaystyle \varphi (n)}$ 的值

φ(n) for 1 ≤ n ≤ 100

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4
10	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8
20	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8
30	30	16	20	16	24	12	36	18	24	16
40	40	12	42	20	24	22	46	16	42	20
50	32	24	52	18	40	24	36	28	58	16
60	60	30	36	32	48	20	66	32	44	24
70	70	24	72	36	40	36	60	24	78	32
80	54	40	82	24	64	42	56	40	88	24
90	72	44	60	46	72	32	96	42	60	40

若${\displaystyle n}$有標準分解${\displaystyle p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$（其中各${\displaystyle p_{i}}$為互異的質因子，各${\displaystyle k_{i}\geq 1}$為質因子的次數），則歐拉函數在該處的值為

${\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}p_{2}^{k_{2}-1}\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{r}-1),}$

亦可等價地寫成

${\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).}$

此結果可由${\displaystyle \varphi }$在質數冪處的取值，以及其積性得到。

最簡單的情況有${\displaystyle \varphi (1)=1}$（小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。

一般地，若n是質數p的k次冪，則${\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}}$，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

歐拉函數是積性函數，即是说若m,n互質，則${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，${\displaystyle A\times B}$和${\displaystyle C}$可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。

較詳細的證明如下：

設${\displaystyle N<mn}$，且${\displaystyle N=k_{1}m+p=k_{2}n+q}$。若${\displaystyle N}$與${\displaystyle mn}$互質，則${\displaystyle N}$與${\displaystyle m}$、${\displaystyle n}$均互質。又因為${\displaystyle (k_{1}m+p,m)=(p,m),(k_{2}n+q,n)=(q,n)}$，若${\displaystyle p,q}$分別與${\displaystyle m,n}$互質，則${\displaystyle N}$一定和${\displaystyle mn}$互質。反之亦然，即若${\displaystyle N}$與${\displaystyle mn}$互質，則亦有${\displaystyle p,q}$分別與${\displaystyle m,n}$互質。

由中國剩餘定理，方程組

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.}$

的通解可以寫成${\displaystyle N=kmn+pt_{1}n+qt_{2}m\ (k\in \mathbb {Z} ),}$ 其中${\displaystyle t_{1},t_{2}}$為固定的整數，故二元組${\displaystyle (p,q)}$（要滿足${\displaystyle 0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1}$）與小於${\displaystyle mn}$且與${\displaystyle mn}$互質的正整數${\displaystyle N}$一一對應。

由${\displaystyle \varphi }$的定義（和乘法原理），前一種數對${\displaystyle (p,q)}$的個數為${\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)}$。而後一種數${\displaystyle N}$的個數為${\displaystyle \varphi (mn)}$。

所以，${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).}$

結合以上兩小節的結果可得：若${\displaystyle n}$有質因數分解式${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$，則

${\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\right)\\&=\prod _{i=1}^{r}\varphi \left(p_{i}^{k_{i}}\right)&{\text{（ 积 性 ）}}\\&=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)&{\text{（ 质 数 幂 处 取 值 ）}}\\&=n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\end{aligned}}}$

計算${\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}}$的歐拉函數值：

${\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.}$

n的欧拉函数${\displaystyle \varphi (n)}$ 也是循环群 C_n 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C_n 中每个元素都能生成 C_n 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， C_n 的所有子群都具有 C_d 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 C_d 的生成元个数相加，就将得到 C_n 的元素总个数：n。也就是说：

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}$

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于${\displaystyle \varphi (n)}$的公式：

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}$

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1），${\displaystyle m\geq 2}$，有

${\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}$

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 的单位元组成的乘法群${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }}$

當m是質數p時，此式則為：

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

即費馬小定理。

歐拉商數（totient number）指的是歐拉函數的值，也就是說，若m是一個歐拉商數，那至少存在一個n，使得φ(n) = m。而歐拉商數m的「重複度」（valency或multiplicity），指的是這等式的解數。^[4]相對地，一個非歐拉商數指的是不是歐拉商數的自然數。顯然所有大於1的奇數都是非歐拉商數，此外也存有無限多的偶數是非歐拉商數，^[5]且所有的正整數都有一個倍數是非歐拉商數。^[6]

不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}$

其中C = 0.8178146...。^[7]

考慮重複度，那麼不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

${\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}$

其中對任意正數k而言，誤差項R至多與x/(log x)^k成比例。^[8]

目前已知對於任意的δ < 0.55655而言，有無限多個m，其重複度超過m^δ。^[9][10]

Ford (1999) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFFord1999 (幫助)證明說對於任意整數k ≥ 2而言，總存在一個歐拉商數m，其重複度為k，也就是說總有數字使得這等式φ(n) = m有剛好k個解。這結果由瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基所猜測，^[11]且是Schinzel猜想H（英语：Schinzel's hypothesis H）的一個結果。^[7]事實上，對於任何出現的重複度而言，該重複度會出現無限多次。^[7][10]

然而，沒有任何數字m的重複度為k = 1。卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想（英语：Carmichael's totient function conjecture）講的是沒有m的重複度為k = 1。^[12]

完全歐拉商數（perfect totient number）是一個等同於其歐拉函數迭代總和的整數，也就是說，如果將歐拉函數套用在一個正整數${\displaystyle n}$之後，並將歐拉函數套用在如此所得的結果上，如此下去，直到最後得到1為止，並將這一系列的數給加總起來。若這總和為${\displaystyle n}$，那麼${\displaystyle n}$就是一個完全歐拉商數。

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：${\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}$。

由${\displaystyle \varphi }$(n)生成的狄利克雷级数是：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}$

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}$

${\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}$

${\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}$

使用开始时的等式，就得到：${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}$

于是${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}$

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

其对于满足 |q|<1 的q收敛。

推导如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}$

后者等价于：

${\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

随着n变大，估计${\displaystyle \varphi (n)}$ 的值是一件很难的事。当n为质数时，${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$，但有时${\displaystyle \varphi (n)}$又与n差得很远。

在n足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 ${\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}$

如果考虑比值：

${\displaystyle \,\varphi (n)/n,}$

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似${\displaystyle 1-p^{-1}}$的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

${\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}$

${\displaystyle \varphi }$就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ 。一个相关的结果是比值${\displaystyle \varphi (n)/n}$的平均值：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).}$

1. ${\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}$
2. ${\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}$ 使得 ${\displaystyle [(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]}$
3. ${\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}$ 使得 ${\displaystyle [(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]}$
4. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}$
6. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}$
7. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }$
8. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}$
9. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}$

1. ${\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}$，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
2. ${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}$ ，其中n > 0。
3. 对整数n > 6，${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}}$。
4. 当n为质数时，显然有${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$。对于合数的n，则有：

${\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}$

若p是質數，則有φ(p) = p − 1。1932年，德里克·亨利·萊默問說是否有合成數n使得φ(n) 整除n − 1。目前未知是否有這樣的數存在。^[13]

1933年萊默證明說若有這樣的${\displaystyle n}$，那麼${\displaystyle n}$必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 7}$）。1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的${\displaystyle n}$存在，則${\displaystyle n>10^{20}}$且${\displaystyle n}$有至少14個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 14}$）；^[14]此外，Hagis證明了說若這樣的${\displaystyle n}$存在且可被3除盡，那麼${\displaystyle n>10^{1937042}}$且${\displaystyle n}$有至少298848個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 298848}$）。^[15][16]

此猜想認為說不存在正整數n，使得對於所有其他的m而言，在m ≠ n的狀況下必有φ(m) ≠ φ(n)。可見上述Ford定理一節的說明。

若有一個如此的反例存在，就必有無限多的反例存在，而最小的可能反例，在十進位下，其位數超過一百億。^[4]

黎曼猜想成立，當且僅當以下不等式對所有的n ≥ p₁₂₀₅₆₉#成立。此處的p₁₂₀₅₆₉#是最初的120569個質數的乘積：

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

此處的γ是歐拉常數。^[17]

template <typename T> inline T phi(T n) {     T ans = n;     for (T i = 2; i * i <= n; ++i)         if (n % i == 0) {             ans = ans / i * (i - 1);             while (n % i == 0) n /= i;         }     if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);     return ans; } 

• Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.

• Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.

• Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001