本条目中,向量 與标量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示;而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 檢驗變數或場變數 的標記的後面沒有單撇號「 ′ {\displaystyle '\,\!} 」;源變數的標記的後面有單撇號「 ′ {\displaystyle '\,\!} 」。 對於與源位置的距離呈反比的位勢 ,其球多極展開 所得到的係數稱為球多極矩 (Spherical multipole moments)。例如,電勢 、磁向量勢 、重力勢 等等,都是這種位勢。
給予在源位置 r ′ = ( r ′ , θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} '=(r',\theta ',\phi ')} 的電荷分佈,計算在場位置 r = ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle \mathbf {r} =(r,\theta ,\phi )} 產生的電勢。 源位置為 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }} 的點電荷 q {\displaystyle q} ,其電勢 Φ ( r ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )} 在場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 為
Φ ( r ) = q 4 π ε 0 | r − r ′ | = q 4 π ε 0 1 r 2 + r ′ 2 − 2 r ′ r cos γ {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2r^{\prime }r\cos \gamma }}}} ; 其中, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數 , γ {\displaystyle \gamma } 是 r {\displaystyle \mathbf {r} } 與 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }} 之間的夾角。
假設 r ′ < r {\displaystyle r'<r} ,場位置比源位置離原點更遠,則此距離倒數函數 1 / | r − r ′ | {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |} 以 r ′ / r {\displaystyle r^{\prime }/r} 的冪 和勒壤得多項式 展開為[ 1] :
Φ ( r ) = q 4 π ε 0 r ∑ ℓ = 0 ∞ ( r ′ r ) ℓ P ℓ ( cos γ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )} 。 應用球餘弦定律 (spherical law of cosine ), cos γ {\displaystyle \cos \gamma } 表示為
cos γ = cos θ cos θ ′ + sin θ sin θ ′ cos ( ϕ − ϕ ′ ) {\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta ^{\prime }+\sin \theta \sin \theta ^{\prime }\cos(\phi -\phi ^{\prime })} 。 這結果也可以直接用向量代數 直接計算出來。
應用球諧函數加法定理 , P ℓ ( cos γ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )} 又表示為[ 2]
P ℓ ( cos γ ) = 4 π 2 ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ( θ , ϕ ) Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })} ; 其中, Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}} 是球諧函數 。
將這方程式代入電勢的方程式,可以得到
Φ ( r ) = q 4 π ε 0 r ∑ ℓ = 0 ∞ ( r ′ r ) ℓ ( 4 π 2 ℓ + 1 ) ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ( θ , ϕ ) Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })} 。 點電荷的「球多極矩」 定義為
q ℓ m = d e f q r ′ ℓ Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ qr^{\prime \ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })} 。 則電勢的方程式又可寫為
Φ ( r ) = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ q ℓ m Y ℓ m ( θ , ϕ ) ( 2 ℓ + 1 ) r ℓ + 1 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}} 。 假設 r < r ′ {\displaystyle r<r'} ,場位置比源位置離原點更近,則此距離倒數函數 1 / | r − r ′ | {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |} 可以以 r / r ′ {\displaystyle r/r^{\prime }} 的冪 和勒壤得多項式 展開:
Φ ( r ) = q 4 π ε 0 r ′ ∑ ℓ = 0 ∞ ( r r ′ ) ℓ ( 4 π 2 ℓ + 1 ) ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ( θ , ϕ ) Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{\prime }}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r^{\prime }}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })} 。 點電荷的「內部球多極矩」(前述的球多極矩稱為外部球多極矩)定義為
I ℓ m = d e f q ( r ′ ) ℓ + 1 Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r^{\prime }\right)^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })} 。 則電勢的方程式寫為
Φ ( r ) = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ I ℓ m r ℓ Y ℓ m ( θ , ϕ ) 2 ℓ + 1 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {I_{\ell m}r^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{2\ell +1}}} 。 前述多極展開方法可以推廣至電荷密度分佈。將點電荷 q {\displaystyle q} 改換為微小電荷元素 ρ ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ^{\prime })d\mathbf {r} ^{\prime }} ,然後積分,則可得到電勢的方程式(假設 r ′ < r {\displaystyle r'<r} ):
Φ ( r ) = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ q ℓ m Y ℓ m ( θ , ϕ ) ( 2 ℓ + 1 ) r ℓ + 1 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}} ; 其中,電荷密度分佈的球多極矩定義為 q ℓ m = d e f ∫ V ′ ρ ( r ′ ) ( r ′ ) ℓ Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\left(r^{\prime }\right)^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }} , V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 是積分體積。
特別注意,由於電勢 Φ ( r ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )} 為實值,這展開式的複共軛也是同樣正確的球多極展開式。然而,這樣做會導致球多極矩的定義式含有 Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}} 項目,而不是其複共軛數 Y ℓ m ∗ {\displaystyle Y_{\ell m}^{*}} 。在某些領域,例如物理化學 ,這是一般常規。更詳盡資料,請參閱條目分子多極矩 (molecular multipole moment )。
類似地,假設 r < r ′ {\displaystyle r<r'} ,場位置比源位置離原點更近,則電勢的方程式為
Φ ( r ) = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ I ℓ m r ℓ Y ℓ m ( θ , ϕ ) 2 ℓ + 1 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {I_{\ell m}r^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{2\ell +1}}} ; 其中,電荷密度分佈的內部球多極矩定義為 I ℓ m = d e f ∫ V ′ ρ ( r ′ ) Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) ( r ′ ) ℓ + 1 d 3 r ′ {\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}{\left(r^{\prime }\right)^{\ell +1}}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }} 。
兩個互不重疊,同心的電荷分佈可以用簡單公式來描述。設定第一個電荷分佈 ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} 在第二個電荷分佈 ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} 的內部,則由 ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} 所產生的電勢 Φ 1 {\displaystyle \Phi _{1}} ,因為作用於 ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} 而涉及的相互作用能 U {\displaystyle U} 為
U = ∫ V ρ 2 ( r ) Φ 1 ( r ) d 3 r {\displaystyle U=\int _{\mathbb {V} }\rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} } 。 電勢 Φ 1 ( r ) {\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )} 可以以外部球多極矩展開為
Φ 1 ( r ) = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ q 1 ℓ m Y ℓ m ( θ , ϕ ) ( 2 ℓ + 1 ) r ℓ + 1 {\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{1\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}} ; 其中, q 1 ℓ m {\displaystyle q_{1\ell m}} 是第一個電荷分佈的 ℓ m {\displaystyle \ell m} 外部球多極矩。
將這方程式代入相互作用能 U {\displaystyle U} 的方程式,可以得到
U = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ q 1 ℓ m 2 ℓ + 1 ∫ V ρ 2 ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) r ℓ + 1 d 3 r {\displaystyle U={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{1\ell m}}{2\ell +1}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\rho _{2}(\mathbf {r} )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{r^{\ell +1}}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} } 。 注意到其積分項目等於 ρ 2 ( r ′ ) {\displaystyle \rho _{2}(\mathbf {r} ^{\prime })} 的內部球多極矩 I 2 ℓ m {\displaystyle I_{2\ell m}} 的複共軛數,相互作用能 U {\displaystyle U} 的方程式約化為簡單形式
U = 1 ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ q 1 ℓ m I 2 ℓ m ∗ 2 ℓ + 1 {\displaystyle U={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}}{2\ell +1}}} 。 這方程式可以用來計算,原子核 產生的電勢因為與其周圍的原子軌域 耦合而涉及的相互作用能。反過來,給定相互作用能與電子軌域的內部球多極矩,則可以計算原子核的外部球多極矩,從而得知其形狀。
假設電荷密度為「軸對稱」,即與方位角 ϕ ′ {\displaystyle \phi ^{\prime }} 無關,則球多極展開式的形式很簡單。在 q ℓ m {\displaystyle q_{\ell m}} 與 I ℓ m {\displaystyle I_{\ell m}} 的定義式內,對於 ϕ ′ {\displaystyle \phi ^{\prime }} 積分,則可以發覺除了 m = 0 {\displaystyle m=0} 球多極矩以外,其它球多極矩都等於零。應用數學恆等式[ 2]
P ℓ ( cos θ ) = 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ 0 ( θ , ϕ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )} , 軸對稱球多極矩定義為
q ℓ = d e f ∫ V ′ 2 ℓ + 1 4 π ρ ( r ′ ) ( r ′ ) ℓ P ℓ ( cos θ ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\ \rho (\mathbf {r} ^{\prime })\left(r^{\prime }\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ^{\prime })\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }} , 則外部球多極展開式為
Φ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ 4 π 2 ℓ + 1 q ℓ P ℓ ( cos θ ) r ℓ + 1 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\ {\frac {q_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}{r^{\ell +1}}}} 。 類似地,軸對稱內部球多極矩定義為
I ℓ = d e f ∫ V ′ 2 ℓ + 1 4 π ρ ( r ′ ) ( r ′ ) ℓ + 1 P ℓ ( cos θ ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\ {\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })}{\left(r^{\prime }\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ^{\prime })\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }} , 內部球多極展開式為
Φ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ 4 π 2 ℓ + 1 I ℓ r ℓ P ℓ ( cos θ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )} 。 注意到 q ℓ ( − m ) = ( − 1 ) m q ℓ m ∗ {\displaystyle q_{\ell (-m)}=(-1)^{m}q_{\ell m}^{*}} 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式,以及與笛卡兒多極矩之間的關係[ 2] :
q 00 = 1 4 π ∫ V ′ ρ ( r ′ ) d 3 r ′ = 1 4 π q q 11 = − 3 8 π ∫ V ′ r ′ sin θ ′ e − i ϕ ′ ρ ( r ′ ) d 3 r ′ = − 3 8 π ( p x − i p y ) q 10 = 3 4 π ∫ V ′ r ′ cos θ ′ ρ ( r ′ ) d 3 r ′ = − 3 4 π p z q 22 = 15 32 π ∫ V ′ r ′ 2 sin 2 θ ′ e − 2 i ϕ ′ ρ ( r ′ ) d 3 r ′ = 15 288 π ( Q 11 − 2 i Q 12 − Q 22 ) q 21 = − 15 8 π ∫ V ′ r ′ 2 sin θ ′ cos θ ′ e − i ϕ ′ ρ ( r ′ ) d 3 r ′ = − 15 72 π ( Q 13 − i Q 33 ) q 20 = 5 16 π ∫ V ′ r ′ 2 ( cos 2 θ ′ − 1 ) ρ ( r ′ ) d 3 r ′ = 5 16 π Q 33 {\displaystyle {\begin{aligned}q_{00}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\ q\\q_{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\sin {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\ (p_{x}-ip_{y})\\q_{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\cos {\theta '}\ \rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\ p_{z}\\q_{22}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin ^{2}{\theta '}\ e^{-2i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {15}{288\pi }}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})\\q_{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin {\theta '}\cos {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {15}{72\pi }}}\ (Q_{13}-iQ_{33})\\q_{20}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}(\cos ^{2}{\theta '}-1)\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\ Q_{33}\end{aligned}}} 。 其中, ( p x , p y , p z ) {\displaystyle (p_{x},p_{y},p_{z})} 是笛卡兒電偶極矩 , Q i j {\displaystyle Q_{ij}} 是笛卡兒電四極矩 (electric quadruple moment )。
^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 146–148, 1998, ISBN 0-13-805326-X ^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1