盒拓扑 - 维基百科，自由的百科全书

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在拓扑学中，拓扑空间的笛卡尔积上有數種不同可行的拓扑。其中一个較自然的選擇是盒拓扑（英語：box topology），其中基由组件空间中开集的笛卡尔积给出。 ^[1]另一种選擇是乘积拓扑，其中基也由组件空间中开集的笛卡尔积给出，但其中只有有限個開集嚴格小於整个组件空间。

虽然盒拓扑的定義比乘积拓扑更直观，但它满足的性質较少。特别地，如果所有组件空间都是紧凑的，则它们的笛卡尔积上的盒拓扑不一定是紧凑的，而它们的笛卡尔积上的乘积拓扑始终是紧凑的。一般而言，盒拓扑比乘积拓扑更精细，尽管在有限乘积的情况下（或当除了有限多个因子之外的所有因子都是平凡的时候），两者是一致的。

對於${\displaystyle X}$使得

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

或拓扑空间的（可能是无限的）笛卡尔积${\displaystyle X_{i}}$ ，索引为${\displaystyle i\in I}$ ，盒子拓扑${\displaystyle X}$由基

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.}$

生成。盒子这个名字来自于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的情况，其中基中的開集看起来像盒子。乘積公間${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$的盒拓扑的有时用${\displaystyle {\underset {i\in I}{\square }}X_{i}}$表示。

考慮${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$上的盒拓扑： ^[2]

• 盒拓扑是完全规则的
• 盒子拓扑既不紧凑也不连通
• 盒子拓扑不是第一可数的（因此不是可度量的）
• 盒子拓扑不可分离
• 如果连续统假设成立，则盒子拓扑是仿紧的（因此是正则的和完全正则的）

乘积拓扑中基中的開集的定义与上述盒拓撲几乎相同，除了有一个限制：除了有限个U _i之外，其他分量開集都等于分量空间X _i 。

乘积拓扑满足關於分量空间的映射${\displaystyle f_{i}:Y\rightarrow X_{i}}$的一个非常理想的性质：由分量函数f _i定义的乘积映射f : Y → X是连续的当且仅当所有的f _i都是连续的。然而這在盒拓扑中不總是成立。這使盒拓扑非常适用于構造反例—许多特性，例如紧凑性、连通性、可度量性等。即使所有因子空间都具有这些特性，在盒拓扑中通常不会保留。

• Steen, Lynn A., Seebach, J. Arthur Jr. Conuterexamples in Topology. Springer-Verlag. 1970. ISBN 0030794854. 

• Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6. 

• Box topology. PlanetMath.