等角螺线 - 维基百科,自由的百科全书
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等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线,在极坐标系中,这个曲线可以写为
或
因此叫做“对数”螺线。
定理
[编辑]- 等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
- 设为穿过原点的任意直线,则与等角螺线的相交的角永远相等(故其名),而此值为。
- 设为以原点为圆心的任意圆,则与等角螺线的相交的角永远相等,而此值为,名为「倾斜度」
- 等角螺线是自我相似的;这即是说,等角螺线经放大后可与原图完全相同。
- 等角螺线的渐屈线和垂足曲线都是等角螺线。
- 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限,但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。
历史
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等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性,如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性,故要求死后将之刻在自己的墓碑上,并附词「纵使改变,依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线(等速螺线)刻了上去。
自然现象
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/220px-Messier51.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/220px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg)
- 鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
- 菊的种子排列成等角螺线
- 鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
- 昆虫以等角螺线的方式接近光源
- 蜘蛛网的构造与等角螺线相似
- 旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
- 低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺线
构造等角螺线
[编辑]- 在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为,则有。
参见
[编辑]引用
[编辑]- 埃里克·韦斯坦因. Logarithmic Spiral. MathWorld.
- Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves (页面存档备份,存于互联网档案馆), University of Georgia (1999)
- Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral (页面存档备份,存于互联网档案馆), at cut-the-knot
外部链接
[编辑]- Spira mirabilis (页面存档备份,存于互联网档案馆) 等角螺线的历史和数学