在概率论 中, 对定义在相同样本空间[ 1] 随机变量 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 联合分布 是同时对于 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 概率分布 。
对离散随机变量 而言，联合分布概率质量函数 为 P r ( X = x & Y = y ) {\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}
P ( X = x a n d Y = y ) = P ( Y = y | X = x ) P ( X = x ) = P ( X = x | Y = y ) P ( Y = y ) . {\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;} 因为是概率分布函数，所以必须有
∑ x ∑ y P ( X = x a n d Y = y ) = 1. {\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;} 类似地，对连续随机变量 而言，联合分布概率密度函数 为 f X , Y ( x , y ) {\displaystyle f_{X,Y}(x,y)} f Y | X ( y | x ) {\displaystyle f_{Y|X}(y|x)} f X | Y ( x | y ) {\displaystyle f_{X|Y}(x|y)} X = x {\displaystyle X=x} Y {\displaystyle Y} 条件分布 以及 Y = y {\displaystyle Y=y} X {\displaystyle X} f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} f Y ( y ) {\displaystyle f_{Y}(y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 边缘分布 。
同样地，因为是概率分布函数，所以必须有
∫ x ∫ y f X , Y ( x , y ) d y d x = 1. {\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.} 對於兩相互獨立 的事件 P ( X ) {\displaystyle P(X)} P ( Y ) {\displaystyle P(Y)} x 和y 而言有离散随机变量 P ( X = x a n d Y = y ) = P ( X = x ) ⋅ P ( Y = y ) {\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)} p X , Y ( x , y ) = p X ( x ) ⋅ p Y ( y ) {\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}
2元联合分布可以推广到任意多元的情况 X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x n ) = f X n | X 1 , … , X n − 1 ( x n | x 1 , … , x n − 1 ) f X 1 , … , X n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) . {\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}
^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080（Eng） . 
French
Deutsch
