自动认识逻辑 - 维基百科，自由的百科全书

自动认识逻辑是致力于形式化关于知识的表示和推理的形式逻辑。命题逻辑只能表达事实，而自动认识逻辑可以表达关于事实的知识和知识的缺乏。

自动认识逻辑的语法通过增加指示知识的模态算子 ${\displaystyle \Box }$ 而扩展了命题逻辑: 如果 ${\displaystyle F}$ 是一个公式，则 ${\displaystyle \Box F}$ 指示 ${\displaystyle F}$ 是已知。作为结果，${\displaystyle \Box \neg F}$ 指示 ${\displaystyle \neg F}$ 是已知，而 ${\displaystyle \neg \Box F}$ 指示 ${\displaystyle F}$ 是未知。

在自动认识逻辑中的公式可以用来捕获基于事实知识的推理。例如，${\displaystyle \neg \Box F\rightarrow \neg F}$ 意味着如果不知道 ${\displaystyle F}$ 是真的，则假定它为假。这是一种形式的否定为失败。

自动认识逻辑的语义基于的是理论的展开(expansion)，它扮演的角色类似于命题逻辑中的模型。命题模型指定原子哪个为真哪个为假，而展开指定公式 ${\displaystyle \Box F}$ 哪个为真哪个为假。特别是，自动认识公式 ${\displaystyle T}$ 的展开对在 ${\displaystyle T}$ 中包含的所有子公式 ${\displaystyle \Box F}$ 都做这种区分。这种区分允许 ${\displaystyle T}$ 被作为命题公式处理，因为包含 ${\displaystyle \Box }$ 的所有子公式都要么是真要么是假。特别是，使用命题演算的规则来检查 ${\displaystyle T}$ 在这种条件下是否蕴涵 ${\displaystyle F}$。为了使初始假定是一个展开，一个子公式 ${\displaystyle F}$ 被蕴涵是必须的当且仅当 ${\displaystyle \Box F}$ 已经被初始假定为真。

例如，在公式 ${\displaystyle T=\Box x\rightarrow x}$ 中，只有一个单一的“加方框的子公式” ${\displaystyle \Box x}$。所以只有两个候选的展开，分别是假定它为真或为假。对实际上的展开所做的检查如下：

${\displaystyle \Box x}$ 为假: 通过这个假定，因为 ${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$ 等价于 ${\displaystyle \neg \Box x\vee x}$，而 ${\displaystyle \neg \Box x}$ 被假定为真，${\displaystyle T}$ 成为重言式；所以 ${\displaystyle x}$ 没有被蕴涵。这个结果符合在 ${\displaystyle \Box x}$ 为假中所暗含的假定，就是说 ${\displaystyle x}$ 当前是未知的。所以 ${\displaystyle \Box x}$ 为假的假定是一个展开。

${\displaystyle \Box x}$ 为真: 通过这个假定，${\displaystyle T}$ 蕴涵 ${\displaystyle x}$；所以在 ${\displaystyle \Box x}$ 为真中所暗含的初始假定，就是说 ${\displaystyle x}$ 为真是已知的，被满足了。作为结果，这是另一个展开。

因此公式 ${\displaystyle T}$ 有两个展开，在其中一个中 ${\displaystyle x}$ 是未知，在另一个中 ${\displaystyle x}$ 是已知。第二个被认为是反直觉的，因为 ${\displaystyle \Box x}$ 为真的初始假定只说明了为什么 ${\displaystyle x}$ 为真，符合这个假定。换句话说，这是一个自支持的假定。允许这种信仰的自支持的逻辑叫做非强根基的，区别于在其中自支持是不可能的强根基的逻辑。自动认识逻辑的强根基变体存在。

• 非单调逻辑
• 模态逻辑
• 认识逻辑

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