範疇 (數學) - 维基百科，自由的百科全书

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在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

一个范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 意指资料 ${\displaystyle (\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}},\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}};\circ )}$，其中：

• 一個由对象（Object）所構成的類 ${\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$；
• 物件間的态射（Morphism）所構成的類 ${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$。每一個態射 ${\displaystyle f\in {\mathrm {Mor\ } }{\mathcal {C}}}$ 均蕴含确定的「始对象（Domain）」${\displaystyle A}$ 和「终对象（Codomain）」${\displaystyle B}$，且 ${\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$。此时记 ${\displaystyle f\colon A\to B}$，称 ${\displaystyle f}$ 为从 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle B}$ 的一个态射^{[注释 1]}。所有由 ${\displaystyle A}$ 至 ${\displaystyle B}$ 的态射构成类，记作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}$，不致混淆时，也记作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} \ (A,B)}$；
• 对任意态射对 ${\displaystyle (A,B)}$ 有态射复合 ${\displaystyle \circ }$ 如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ (-,-)\colon \ &\mathrm {Hom} \ (A,B)\times \mathrm {Hom} \ (B,C)&\to &\quad \mathrm {Hom} \ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto &\quad g\circ f,\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle g\circ f}$ 在不致混淆时也记作 ${\displaystyle gf}$。

此態射複合滿足下列公理：

• （結合律）对态射 ${\displaystyle f\colon A\to B}$，${\displaystyle g\colon B\to C}$ 和 ${\displaystyle h\colon C\to D}$，有 ${\displaystyle h(gf)=(hg)f}$；
• （幺元）对任意对象 ${\displaystyle X}$，存在一态射 ${\displaystyle 1_{X}\in \mathrm {Hom} \ (X,X)}$，使得对任意态射 ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} \ (A,B)}$，均满足 ${\displaystyle 1_{B}f=f=f1_{A}}$。态射 ${\displaystyle 1_{X}}$ 称作「${\displaystyle X}$ 的单位态射」。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。^{[來源請求]}

显然，${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$ 间自然地存在三个映射：${\displaystyle \mathrm {Id} \colon \ X\mapsto 1_{X}}$，${\displaystyle \mathrm {Dom} \colon \ f\mapsto A}$，${\displaystyle \mathrm {Cod} \colon \ f\mapsto B}$，如图 1 所示。

一个范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类 ${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$ 比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 ${\displaystyle (A,B)\in (\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}})^{2}}$，其对应的的态射类 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}$ 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

• 所有集合的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。^{[注释 2]}
  • 所有預序關係的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Ord}}}$，其態射為單調函數。
  • 所有原群的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Mag}}}$，其態射為原群間的同態。
  • 所有群的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Group}}}$，其態射為群同態。
  • 所有阿貝爾群的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Ab}}}$，其態射為群同態。
  • 所有環的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Ring}}}$，其態射為環同態。^{[注释 3]}
  • 所有於體 ${\displaystyle \mathbb {k} }$（維持固定）上的向量空間的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Vect}}_{\mathbb {k} }}$，其態射為線性映射。
  • 所有拓樸空間的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$，其態射為連續函數。
  • 所有度量空間的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Met}}}$，其態射為度量映射。
  • 所有一致空間的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Uni}}}$，其態射為一致連續函數。
  • 所有光滑流形的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Man}}^{p}}$，其態射為 ${\displaystyle p}$ 次連續可微映射。
• 所有小範疇的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$，其態射為函子。
• 所有局部小范畴的范畴 ${\displaystyle {\mathsf {CAT}}}$。^{[注释 4]}
• 所有集合的关系范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Rel}}}$，其態射為關係。
• 任一預序集 ${\displaystyle (P,\preceq )}$ 均蕴含一個小範疇，其对象為 ${\displaystyle P}$ 的元，态射为有序对 ${\displaystyle (p,q)}$ 使得 ${\displaystyle p\preceq q}$。^{[注释 5]}
• 任一幺半群 ${\displaystyle M}$ 均蕴含一个携唯一一个对象 ${\displaystyle x}$ 的小范畴 ${\displaystyle {\mathsf {B}}M}$。${\displaystyle {\mathsf {B}}M}$ 以 ${\displaystyle M}$ 中的元作为态射，每个态射各自表示 ${\displaystyle x}$ 上一个不同的自同态，而态射复合由 ${\displaystyle M}$ 的乘法给出。${\displaystyle M}$ 的幺元 ${\displaystyle e\in M}$ 也作为 ${\displaystyle {\mathsf {B}}M}$ 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。
• 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。
• 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

一个态射 ${\displaystyle f\colon \ a\to b}$ 被称为：

• 同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 ${\displaystyle g\colon \ b\to c}$，满足 ${\displaystyle gf=1_{a},\,fg=1_{b}}$，换言之，存在逆；
• 自态射（Endomorphism），当且仅当 ${\displaystyle b=a}$，即 ${\displaystyle f}$ 是从 ${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle a}$ 自身的态射；
• 自同构（Automorphism），当且仅当 ${\displaystyle f}$ 同时为同构与自态射；
• 单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 ${\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (x,\,a)}$，${\displaystyle fh=fk}$ 均蕴含 ${\displaystyle h=k}$；
• 满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 ${\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (b,\,x)}$，${\displaystyle hf=kf}$ 均蕴含 ${\displaystyle h=k}$；
• ${\displaystyle g\colon \ b\to a}$ 的截面（Section），当且仅当 ${\displaystyle gf=1_{a}}$，也称作 ${\displaystyle g}$ 的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）；
• ${\displaystyle g\colon \ b\to a}$ 的收缩（Retraction），当且仅当 ${\displaystyle fg=1_{b}}$，也称作 ${\displaystyle g}$ 的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；

也记 ${\displaystyle a}$ 上的所有自态射构成类 ${\displaystyle \mathrm {End} \ a}$，所有自同构构成类 ${\displaystyle \mathrm {Aut} \ a}$。

下述三个命题是等价的：

1. ${\displaystyle f}$ 是单态射且是收缩。
2. ${\displaystyle f}$ 是满态射且是截面。
3. ${\displaystyle f}$ 是同构。

态射之间的关系（例如 ${\displaystyle fg=h}$）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

给定一个范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，称范畴 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 之子范畴（Subcategory），当且仅当：

• ${\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$，
• ${\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}$，
• 同时，态射复合仍然保持。

称 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

• 群可被定义作具唯一一个对象的群胚；

任意范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为一范畴，规定其对偶范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ 如下：

• 以 ${\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$ 为 ${\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$；
• 由如下从 ${\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}$ 到 ${\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ 的一一对应函子完全生成后者：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}\qquad &\to &\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\\f\colon \ X\to Y\quad &\mapsto &f^{\mathrm {op} }\colon \ Y\to X\end{aligned}}}$

其中满足：${\displaystyle \forall f,g\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}},(f\circ _{\mathcal {C}}g)^{\mathrm {op} }:=g^{\mathrm {op} }\circ _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}f^{\mathrm {op} }}$。

利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：

定理：下列三条定理等价：

1. ${\displaystyle f\colon \ x\to y}$ 为范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的一个同构（双态射）；
2. 对所有对象 ${\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$，${\displaystyle f}$ 上的后复合定义了双射 ${\displaystyle f_{*}\colon \ \mathrm {Hom} (c,x)\to \mathrm {Hom} (c,y)}$；
3. 对所有对象 ${\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$，${\displaystyle f}$ 上的前复合定义了双射 ${\displaystyle f^{*}\colon \ \mathrm {Hom} (y,c)\to \mathrm {Hom} (x,c)}$；

对任意范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$，定义其积范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$ 如下：

• 以形如 ${\displaystyle (c,\,d)}$ 的有序对为对象，其中 ${\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}},\,d\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}}$，
• 以形如 ${\displaystyle (f,\,g)\colon \ (c,\,d)\to (c',\,d')}$ 的有序对为态射，同时
• 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。

给定函子 ${\displaystyle F\colon \ {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\,G\colon \ {\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}}$，定义其逗号范畴 ${\displaystyle F\downarrow G}$ 如下：

• 以有序三元组 ${\displaystyle (d,\,e,\,f\colon \ Fd\to Ge)\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Ob} \ {\mathcal {E}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}$ 为对象，

• 以有序对 ${\displaystyle (h\colon \ d\to d',\,k\colon \ e\to e')\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {E}}}$ 为态射，使得对于每个 ${\displaystyle (h,\,k)\colon \ (d,\,e,\,f)\to (d',\,e',\,f')}$，图 2 在 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中交换， 即：使得 ${\displaystyle f'\circ Fh=Gk\circ f}$。

• 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (a,\,b)}$ 不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
• 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
• 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
• 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

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