超度量空间 - 维基百科,自由的百科全书
超度量空间是一种特殊的度量空间,其中三角不等式用d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}来代替。有时相关的度量也称为非阿基米德度量或超度量。虽然超度量空间中的一些定理看来奇怪,它们在许多应用中都自然出现。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。
正式定义
[编辑]正式地,超度量空间是点M的集合与一个相关的距离函数(又称为度量):
- d : M × M → R
(其中R是实数集合),使得对于所有M内的x,y和z,都有:
- d(x, y) ≥ 0
- d(x, y) = 0 当且仅当 x=y
- d(x, y) = d(y, x) (对称性)
- d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)} (强三角不等式或超度量不等式)。
第四個條件可加強為當d(x, y)和d(y, z)不相等時,d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)},原因如下:
首先,可以不失一般性地假定d(x, y) < d(y, z),因此d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}可變為d(x, z) ≤ d(y, z),但另一方面,d(y, z) ≤ max{d(x, y), d(x, z)},由於已經假定d(x, y) < d(y, z)之故,因此顯然max{d(x, y), d(x, z)}不能為d(x, y),因此max{d(x, y), d(x, z)} = d(x, z),所以有d(y, z) ≤ d(x, z),由於d(x, z) ≤ d(y, z)和d(y, z) ≤ d(x, z)兩者皆成立之故,因此有d(x, z) = d(y, z)。因此d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}。
性质
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Strong_triangle_ineq.svg/208px-Strong_triangle_ineq.svg.png)
从以上的定义中,我们可以推出超度量空间的一些典型的性质。例如,在超度量空间内,对于所有M内的x,y和z以及R内的所有r和s,都有:
- 每一个三角形都是等腰的,也就是说,d(x,y) = d(y,z),或d(x,z) = d(y,z),或d(x,y) = d(z,x)。
- 球体内的每一点都是它的中心,也就是说,如果d(x,y) < r,则B(x; r) = B(y; r)。
- 相交的球体互相包含,也就是说,如果B(x; r) ∩ B(y; s)是非空的,则要么B(x; r) ⊆ B(y; s),要么B(y; s) ⊆ B(x; r)。
在这里,(开)球体的概念和记法与度量空间中的球体一样,也就是说:
- B(x; r) = { y ∈ M | d(x, y) < r }。
- 所有的球体在诱导拓扑中都既是开集又是闭集。也就是说,开球体也是闭球体,闭球体(把<换成≤)也是开球体。
参考文献
[编辑]- Set Theory and Metric Spaces, I. Kaplansky, AMS Chelsea Publishing (1977). ISBN 0-8218-2694-8