除去因摩擦 與傳熱 因素所造成的微小損失,在撞球 運動裏,可以很明顯的觀察到,所有圓球都遵循動量守恆定律 。當圓球A擊中圓球B時,假若圓球A因此停住,則它的原本動量都會傳給圓球B;假若圓球A仍舊移動,則它的原本動量只有一部分會傳給圓球B,剩餘的動量存留在圓球A。 在古典力学 裏,动量 (momentum,p )被量化 为物体的质量 和速度 的乘積( p = m v . {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} .} )。例如,一輛快速移動的重型卡車擁有很大的動量。若要使這重型卡車從零速度加速到移動速度,則需要使到很大的作用力;若要使重型卡車從移動速度減速到零,則也需要使到很大的作用力;若卡車輕一點或移動速度慢一點,則它的動量也會小一點。
动量在国际单位制 中的单位为kg·m/s。有關动量的更精确的量度的内容,请参见本页的动量的现代定义 部分。
一般而言,一个物体 的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势 。动量实际上是牛顿第一定律 的一个推论。动量是个向量 ,其方向与速度方向相同。动量同时也是一个守恒 量,这表示为在一个封闭系统 内动量的总和不可改变。在经典力学 中,动量守恒暗含在牛顿定律中,但在狭义相对论 中依然成立,(广义)动量在电动力学 、量子力学 、量子场论 、广义相对论 中也成立。
勒内·笛卡儿 认为宇宙中总的“运动的量”是保持守恒的,这里所说的“运动的量”被理解为“物体大小和速度的乘积”——但这不宜被解读为现代动量定律的表达方式,因为笛卡尔并没有把“质量”这个概念与物体“重量”和“大小”之间的关系区分开来,更重要的是他认为速率(标量)而不是速度(向量)是守恒的。因此对于笛卡兒来说:一个移动的物体从另一个表面弹回来的时候,该物体的方向发生了改变但速率没有发生改变,运动的量应该没有发生改变[ 1] [ 2] 。
物体在任何一个参考系 中运动时,它都具有在该参考系 中的动量。需要注意的是,动量是一个参考系决定量。也就是说,同一个物体在一个参考系中具有确定的动量,但在另一个参考系中却有可能具有不同的动量。
物体动量的数值取决于两个物理量的数值:运动物体在参考系 中的质量 与速度 。在物理学中,动量以小写的 p {\displaystyle \mathbf {p} } (黑体代表 p {\displaystyle \mathbf {p} } 是一个向量 )表示,动量的定义如下:
p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } 动量对时间的一阶导数 的定义如下:
d p d t = d ( m v ) d t = m d v d t + v d m d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+v{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}} 其中p 為動量,t為時間,d為微分 算符。
当物体在运动中质量不变的情形下, d m d t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=0} ,此时,可以将动量对时间的一阶导数简写作
d p d t = m d v d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}} 一个物体的速度包括了该物体的速率与运动方向。因为动量由速度决定,所以动量也具有数量 与方向,是一个空间 向量 。例如,要表示出5 kg的保龄球的动量的话,可以以它有以2m/s的速率向西运动的状态来说明;但是,只认为该保龄球具有10 kg·m/s的动量的想法是不全面的,因为没有表示出它的运动方向。
动量定理 指出:
∑ I = Δ p {\displaystyle \sum \mathbf {I} =\Delta \mathbf {p} }
设一个质量为m的物体,初速度 为v,那么初动量为p=mv,在合力F的作用下,经过一段时间t速度变为 v ′ {\displaystyle v^{'}} ,末动量则变为 p ′ = m v ′ {\displaystyle p^{'}=mv^{'}} 。物体的加速度 为 a = v ′ − v t {\displaystyle a={\frac {v^{'}-v}{t}}} 。由牛顿第二定律 F = m a = m v ′ − m v t {\displaystyle F=ma={\frac {mv^{'}-mv}{t}}} 可得 F t = m v ′ − m v {\displaystyle Ft=mv^{'}-mv} ,即 F t = p ′ − p {\displaystyle Ft=p^{'}-p} 。 在动量定理的推导过程中,我们假定合力F是恒定的,但是在实际生活当中要比这个复杂的多。如用球拍击打球或是用脚踢踢球时作用力就不是恒定的。但可以证明[ 3] ,动量定理不但适用于恒力,也可以随时间而变化的变力,对于变力的情况,动量定理中的F应理解为在作用时间内的平均值。此时作用力 F = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}} 也称作动量的变化率。
动量具有一个特殊属性:只要是在一个封闭系统 中,它总会保持恒定,即使是物体碰撞 发生时。而对动能 而言,非弹性碰撞 的物体的动能将不会守恒。因此,当碰撞过后可利用动量守恒来计算未知速度。
在物理学上,这个特殊属性被用来来解决两个相碰物体的问题。因为动量始终保持恒定,碰撞前动量的总和一定与碰撞后动量的总和相等:
m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f {\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1{\text{i}}}+m_{2}\mathbf {v} _{2{\text{i}}}=m_{1}\mathbf {v} _{1{\text{f}}}+m_{2}\mathbf {v} _{2{\text{f}}}} 其中,i表示碰撞前的初量,f表示碰撞后的末量。要注意的是此時 v {\displaystyle \mathbf {v} } 為向量 。 通常来说,我们只需知道碰撞前(或碰撞后)物体的速度便可计算出碰撞后(或碰撞前)物体的速度。碰撞有两种类型,两种类型中动量都守恆:
弹性碰撞的一个较好的例子是两个台球之间的碰撞。当两个球相碰时,除了动量保持恒定外,碰撞前后动能的总和也将保持不变:
1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{i}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{i}}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{f}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{f}}}^{2}} 因为每个因式中都含有系数 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ,所以亦可将该系数移除。
正碰即对心碰撞 (head on collision),两物体沿着一条直线碰撞后仍沿原来直线运动,属于弹性碰撞中的一种。
m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f {\displaystyle m_{1}v_{1{\text{i}}}+m_{2}v_{2{\text{i}}}=m_{1}v_{1{\text{f}}}+m_{2}v_{2{\text{f}}}} 1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{i}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{i}}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{f}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{f}}}^{2}} 联立两方程式可得出,两物体最终速度
v 1 f = m 1 − m 2 m 1 + m 2 v 1 i + 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 i {\displaystyle v_{1{\text{f}}}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1{\text{i}}}+{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2{\text{i}}}} v 2 f = 2 m 1 m 1 + m 2 v 1 i + m 2 − m 1 m 1 + m 2 v 2 i {\displaystyle v_{2{\text{f}}}={\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1{\text{i}}}+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2{\text{i}}}} 可以分別以 x {\displaystyle x} 方向以及 y {\displaystyle y} 方向的動量守恆決定出碰撞前後的速度關係。
動量是守恆量 。動量守恆定律 表示為:一個系統不受外力或者所受外力之和為零,這個系統中所有物體的總動量保持不變。它的一個推論為:在沒有外力干預的情況下,任何系統的質心 都將保持勻速直線運動 或靜止狀態不變。動量守恆定律可由机械能对空間平移对称性推出。
在隔離系統(不存在外力)中總動量將是一個守恆量,這暗含在牛頓運動第一定律 之中。
因為動量是向量,所以子彈 從起先靜止的槍 中射出後,儘管子彈和槍都在運動,但由於子彈的動量與槍的動量等值反向,它們相互抵消,使得子彈與槍形成的系統中動量的總和依然為零。
若有系統外合(淨)力為零,則系統內各質點相互作用力亦為零(可視為牛頓第三定律,作用力反作用力原理),故動量變化為零,所以動量守恆。动量守恒定律具有普适性,适用于宏观 、微观 系统,参考系。
在相对论力学 中,动量被定义为:
p = γ m u {\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} } 其中:
m {\displaystyle m} 表示运动物体的静止质量; γ = 1 1 − u 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}} ; u 表示物体与观察者之间的相对速度; c 表示光速 。 当物体在低速极限(u/c -> 0)下运动时,相对论力学的动量式可变化为牛顿力学的动量式: m u {\displaystyle m\mathbf {u} } 。
阿尔伯特·爱因斯坦 由洛伦兹变换 下的四维矢量 守恒发展提出了相对论的四维动量 。其中四维矢量 可从量子场论 使用格林函数 自然导出。四维动量被定义为:
( E c , p x , p y , p z ) {\displaystyle \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)} 其中, p x {\displaystyle p_{x}} 表示相对论 动量的 x {\displaystyle x} 分量, E {\displaystyle E} 表示系统的总能量:
E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}\;} 令速度等于零,可得到一个物体的静止质量和能量之间的关系E=mc² 。
矢量的“长度”保持恒定被定义为:
p ⋅ p − E 2 / c 2 {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -E^{2}/c^{2}} 无静止质量 物体,譬如光子 亦有动量。计算的公式为:
p = h λ = E c {\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {E}{c}}} 其中 h {\displaystyle h} 表示普朗克常量 ; λ {\displaystyle \lambda } 表示光子的波长; E {\displaystyle E} 表示光子的能量 ; c {\displaystyle c} 表示光速 。 动量是平移守恒的诺特荷 。因此,甚至连场 也与其他物质一样具有动量,而不止是粒子 。但是,在弯曲时空 (非闵可夫斯基 式)中,动量根本没有被定义。
在量子力学 中,动量被定义为波函数 的一个算符 。海森堡 不确定性原理 定义了单一观测系统中一次测定动量和位置的精确极限。在量子力学中,动量与位置是一对共轭物理量 。
对单个不带电荷 且没有自旋 的粒子来说,动量算符可被写作:
p ^ = ℏ i ∇ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla } 其中, ∇ {\displaystyle \nabla } 表示梯度 算符。这是动量算符的一个普通形式,而非最普遍的一个。
当电场和/或磁场移动时,它们带有动量。电磁波(可见光、紫外线、无线电波等)也有动量,即使是没有靜止质量的光子 ,也同样带有动量。这被应用在诸如太阳帆 上。
线性(平动)的量 角度(转动)的量 量纲 — L L2 量纲 — — — T 时间 : t s 位移积分 : A m s T 时间 : t s — 距离 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m 面积 : A m2 — 角度 : θ , 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr T−1 頻率 : f s−1 , Hz 速率 : v , 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1 頻率 : f s−1 , Hz 角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1 T−2 加速度 : a m s−2 T−2 角加速度 : α rad s−2 T−3 加加速度 : j m s−3 T−3 角加加速度 : ζ rad s−3 M 质量 : m kg ML2 轉動慣量 : I kg m2 MT−1 动量 : p , 冲量 : J kg m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s ML2 T−1 角动量 : L , 角衝量 : ι kg m2 s−1 作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s MT−2 力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2 力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m 能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J MT−3 加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3 rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W