交換律 - 维基百科，自由的百科全书

交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义^[1][2]。

交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。^[3][4][5]

「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中^[6][7]：

1. 在集合 ${\displaystyle S}$ 的一二元運算 ${\displaystyle *}$ 被稱之為「可交換」的，若：

${\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}$

• 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle *}$ 下和 ${\displaystyle y}$ 「可交換」，即表示：

${\displaystyle x*y=y*x}$

3. 一二元函數${\displaystyle f:A\times A\to B}$被稱之為「可交換」的，若：

${\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}$.

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。^[8][9]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。^[10]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記^[11][12]，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。^[11]

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 ${\displaystyle y=x}$ 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 ${\displaystyle f}$ 來表示加法（一可交換運算），所以 ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ，也因此 ${\displaystyle f}$ 會是個如右圖所見的對稱函數。

• 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
• 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為^[6]：

• 實數的加法

${\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$

例如， ${\displaystyle 4+5=5+4}$ ，兩個表示式都等於 9 。

• 實數的乘法

${\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$

例如， ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$ ，兩者都等於 15 。

• 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

• 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
• 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

一些不可交換二元運算^[13]有：

• 減法： ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$ ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
• 除法： ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
• 矩陣乘法：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

• 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。^[4]
• 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）^[14]
• 域的加法與乘法都是可交換的。^[15]
• 中心是一個群最大的可交換子集。^[16]

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8. 

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 

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• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7. 

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• https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

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• Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
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  Definition of commutativity and examples of commutative operations

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  Explanation of the term commute

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• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms. [2008-11-22]. （原始内容存档于2011-05-01）. 

  Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois. MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-02）. 

  Biography of Francois Servois, who first used the term

• 反交換律
• 二元運算
• 交換子集合
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• 分配律
• 結合律
• 遞移關係