Français : L’un des deux carrés classiques est l’image de l’autre carré par plusieurs similitudes. Chacune d’entre elles a un rapport égal à  √2  ou à son inverse, à cause du rapport  2  ou  0,5  entre les aires des deux carrés. Comme toute similitude qui n’est pas une isométrie, chaque similitude qui transforme l’un en l’autre carré a un point invariant unique, appelé son centre. Le centre de certaines similitudes est un sommet commun aux carrés. Par exemple, le point A  est évidemment le centre de la similitude indirecte qui réduit le triangle EFA  en BTA. Ce dessin montre la similitude directe qui réduit EFA  en ATB.  Un autre dessin avec les mêmes notations montre la similitude directe de centre A,  qui agrandit le triangle BCA  en EFA.

On conçoit la similitude directe qui transforme AEF  en  BAT,  et  B  en  C,  grâce à quatre fines lignes rouges. Chacune commence par un arc de 135 degrés qui part d’un sommet de  ABEF,  et se termine en allant tout droit à l’image du point de départ, et tout droit vers S.  Comme toute similitude plane directe qui n’est pas une isométrie, la similitude exhibée est la composée d’une homothétie et d’une rotation de même centre S.  L’homothétie exhibée a un rapport positif, alors son rapport est égal au rapport de la similitude :  1/ √2.  Et l’angle de la rotation est  + 135 degrés  modulo 360 degrés :  l’angle de la similitude.

On peut construire le centre S  de cette similitude en raisonnant seulement sur son angle orienté  + 135 degrés. Ce point S  est l’intersection des deux quarts de cercles bleus. Chacun d’eux est tracé à l’intérieur d’un carré, son centre est F  ou  T,  et son rayon est la dimension du carré :  AF  ou  BT.

Les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle AEF sont tracés en rouge, et les lettres A  et F sont rouges. La rotation transforme ces côtés rouges en une ligne bleue, et les images de A  et F  par la rotation sont nommées par des lettres bleues : U  et W.  L’homothétie rétrécit la ligne bleue en une ligne verte :  les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle isocèle BAT.  Les lettres B  et T sont vertes.