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Mathematica 7.0 Source
scaling = 0.2; stepSize = 1/10; makeVectors[data_, f_] := Map[{Arrowheads[0.01], Arrow[{#, # + scaling*f @@ #}]} &, data] upperHemi[x_, y_] := Sqrt[1 - x^2 - y^2] lowerHemi[x_, y_] := -Sqrt[1 - x^2 - y^2] f[x_, y_, z_] := {2 x, y^2, z^2} upperPoints = Flatten[Table[{x, y, upperHemi[x, y]}, {x, -1, 1, stepSize}, {y, -Sqrt[1 - x^2], Sqrt[1 - x^2], stepSize}], 1] ; lowerPoints = Flatten[Table[{x, y, lowerHemi[x, y]}, {x, -1, 1, stepSize}, {y, -Sqrt[1 - x^2], Sqrt[1 - x^2], stepSize}], 1]; upperVectors = makeVectors[upperPoints, f]; lowerVectors = makeVectors[lowerPoints, f]; Graphics3D[{{Opacity[0.8], Sphere[]}, {Opacity[0.7], upperVectors~Join~lowerVectors}}, ViewPoint -> {Back, Top}, Axes -> True, AxesLabel -> {x, y, z}, LabelStyle -> Directive[Large], ImageSize -> {1200, 1200}]