在数学 分支泛函分析 中,对于给定的C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , Gelfand–Naimark–Segal 构造 (简称GNS构造 )在一个C*-代数 的循环*-表示与该C*-代数上的某类线性泛函 (称为态 )之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 马克·奈马克 和欧文·西格尔 。
C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 在希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 上的*-表示 是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 到 B ( H ) {\displaystyle B(H)} 的 *-同态 π {\displaystyle \pi } ,其中 B ( H ) {\displaystyle B(H)} 是 H {\displaystyle H} 上有界算子 构成的代数。换句话说, π {\displaystyle \pi } 是将 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的对合 映为 B ( H ) {\displaystyle B(H)} 上的对合的代數同態 。
下文提及 *-表示时,将默认讨论的是非退化的 *-表示。也就是说线性生成空间 π ( A ) H {\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})H} 是 H {\displaystyle H} 的稠密子集 。注意,若 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 有单位元,则非退化性蕴含了 π {\displaystyle \pi } 的保单位元性质,即 π {\displaystyle \pi } 将 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的单位元映射到 H {\displaystyle H} 上的恒等算子 I {\displaystyle I} 。
C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态 是范数为 1 的正线性泛函 f {\displaystyle f} 。若 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 具有乘法单位元,则此条件等价于 f ( 1 A ) = I {\displaystyle f(1_{\mathcal {A}})=I} 。
对于希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 上的C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的表示 π {\displaystyle \pi } 以及 ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in H} ,如果向量集
{ π ( x ) ξ : x ∈ A } {\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}} 在 H {\displaystyle H} 中范数稠密,则 ξ , π {\displaystyle \xi ,\pi } 分别被称为是循环向量 和循环表示 。一个不可约表示 的任何非零向量都是循环的。然而,一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。
令 π {\displaystyle \pi } 为C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 在希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 上的*-表示,单位向量 ξ {\displaystyle \xi } 对于 π {\displaystyle \pi } 而言是循环向量。那么 a ↦ ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ {\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle } 是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的一个态。
反过来,通过选择一种典范的表示, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的每个态都可以被视为如上所述的向量态 。
證明 构造希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 定义 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的一个正半定半线性形式 如下 ⟨ a , b ⟩ = ρ ( b ∗ a ) , a , b ∈ A . {\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}
根据柯西-施瓦茨不等式 , A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的退化元(也就是说即满足 ρ ( a ∗ a ) = 0 {\displaystyle \rho (a^{*}a)=0} 的 a {\displaystyle a} )构成了 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的一个子空间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 。通过C*-代数式的论证,可以证明[ 2] I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的一个左理想 (即 ρ {\displaystyle \rho } 的左核 )。实际上,它是 ρ {\displaystyle \rho } 的核所含的最大的左理想。商空间 A / I {\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {I}}} 可配备内积 ⟨ a + I , b + I ⟩ := ρ ( b ∗ a ) , a , b ∈ A {\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A} 而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化 便得到被记作 H {\displaystyle H} 的希尔伯特空间.构造表示 π {\displaystyle \pi }
为定义 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 到 B ( H ) {\displaystyle B(H)} 上的映射 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ,先定义 π {\displaystyle \pi } 到 B ( A / I ) {\displaystyle B({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})} 上的映射。为此对于 a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}} ,定义算子 π ( a ) {\displaystyle \pi (a)} 的行为如下: π ( a ) ( b + I ) = a b + I {\displaystyle \pi (a)(b+{\mathcal {I}})=ab+{\mathcal {I}}} ,其中 x + I {\displaystyle x+{\mathcal {I}}} 表示商空间中的 x ∈ A {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}} 所属的等价类。类似前面对 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 是左理想的证明,可以证明[ 3] 前述的算子 π ( a ) {\displaystyle \pi (a)} 是有界的,故可以唯一地扩张 为 H {\displaystyle H} 上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随 的定义, π {\displaystyle \pi } 显然是保对合的,至此便证明了它是一个*-同态。找出循环单位向量 ξ {\displaystyle \xi }
若 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 有乘法单位元 1 {\displaystyle 1} ,则显然 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中单位元所在的等价类就是 H {\displaystyle H} 中相对于 π {\displaystyle \pi } 而言的循环向量 ξ {\displaystyle \xi } 。若 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 没有乘法单位元,可考虑 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的渐进单位元 { e λ } {\displaystyle \{e_{\lambda }\}} 。由于正线性泛函有界, { e λ } {\displaystyle \{e_{\lambda }\}} 在商空间中的等价类将收敛于某个向量 ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in H} ,即所要寻找的循环向量。
根据 H {\displaystyle H} 上内积的定义,态 ρ {\displaystyle \rho } 显然可由上述循环表示和循环向量构造而来,于是此定理证毕。 在上述定理的证明中,根据 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态产生*-表示的方法称为GNS构造 。
对于C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的一个态,相应的GNS表示本质上由 ρ ( a ) = ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ {\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle } 唯一确定了。下面的定理说明了这一点:
定理[ 4] — 设 π , π ′ {\displaystyle \pi ,\pi '} 是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 分别在希尔伯特空间 H , H ′ {\displaystyle H,H'} 上的*-表示,相应的循环单位向量分别是 ξ , ξ ′ {\displaystyle \xi ,\xi '} 。对于 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上给定的态 ρ {\displaystyle \rho } ,若其满足 ∀ a ∈ A , ρ ( a ) = ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ = ⟨ π ′ ( a ) ξ ′ , ξ ′ ⟩ {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle } ,则 π , π ′ {\displaystyle \pi ,\pi '} 是幺正等价的*-表示,也就是说存在一幺正算子 U : H → H ′ {\displaystyle U:H\to H'} 使得 ∀ a ∈ A , π ′ ( a ) = U π ( a ) U ∗ . {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \pi '(a)=U\pi (a)U^{*}.} 该算子具有性质 ∀ a ∈ A , U π ( a ) ξ = π ′ ( a ) ξ ′ . {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad U\pi (a)\xi =\pi '(a)\xi '.}
GNS构造是盖尔范德-奈马克定理 证明的核心,该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态(见下文)来使得相应不可约GNS表示的直和 成为忠实 的。
全体态对应的GNS表示的直和称为 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的万有表示 ,其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和,因此 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。
若 Φ {\displaystyle \Phi } 是 C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的万有表示,则 Φ ( A ) {\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}})} 在弱算子拓扑 中的闭包 称为 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的包络冯诺依曼代数 。它可以视为是双对偶 A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{**}} [需要解释 ] 。
不可约 *-表示和态所构成的凸集 的极点 (純態 )之间的关系也很重要。 H {\displaystyle H} 上的表示 π {\displaystyle \pi } 是不可约的,当且仅当 H {\displaystyle H} 没有非平凡的在任一 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 下不变的闭子空间,这里所谓平凡的子空间是指 H , { 0 } {\displaystyle H,\{0\}} 。
定理 — 有单位元的C*代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态构成一个弱*-拓扑意义下的紧致 凸集 。更普遍的是,(无论C*代数是否有单位元)范数不大于一的正线性泛函构成一紧凸集。
这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理 直接得出。
作为有单位元的交换代数,对于某个紧致 的 X {\displaystyle X} 上的连续函数所构成的C*-代数 C ( X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X)} , 里斯-马尔可夫-角谷表示定理 指出,范数不超过一的正泛函可视作 X {\displaystyle X} 上一个总质量 不超过一的博雷尔正测度。根据克林-米尔曼定理 ,极点态则对应于狄拉克测度 。
另一方面, C ( X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X)} 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此,为使 C ( X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X)} 对应于测度 μ {\displaystyle \mu } 的GNS 表示是不可约的,须且仅须 μ {\displaystyle \mu } 是一极点态。事实上,这对于一般的C*-代数也成立。
为证明此结果,首先须注意,一个表示是不可约的当且仅当 π ( A ) {\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})} 的中心化子 (记作 π ( A ) ′ {\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})'} )由单位元的标量倍数构成。
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上任一被 f {\displaystyle f} 控制 的正线性泛函 g {\displaystyle g} 具有形式 g ( x ∗ x ) = ⟨ π ( x ) ξ , π ( x ) T g ξ ⟩ , {\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle ,} 其中 T g ∈ π ( A ) ′ {\displaystyle T_{g}\in \pi ({\mathcal {A}})'} 是某个正算子,其在算子序 下满足 0 ≤ T ≤ 1 {\displaystyle 0\leq T\leq 1} 。这是拉东-尼科迪姆定理 的一个版本。
对于这样的 g {\displaystyle g} ,可以将 f {\displaystyle f} 写为如下正线性泛函的和: f = g + g ′ {\displaystyle f=g+g'} 。因此 π {\displaystyle \pi } 幺正等价于 π g ⊕ π g ′ {\displaystyle \pi _{g}\oplus \pi _{g'}} 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 π g {\displaystyle \pi _{g}} 都幺正等价于 π {\displaystyle \pi } ,即 g {\displaystyle g} 是 f {\displaystyle f} 的标量倍数, π {\displaystyle \pi } 才是不可约的。于是便证明了该定理。
上文提到的极点态往往被称为纯态,但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。
上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数 。
刻画完全正映射 的斯坦斯普林扩张定理 是GNS构造的一个重要推广。
盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。[ 5] 西格尔意识到了其工作中隐含的构造,并以更明显的形式呈现出来。
西格尔在其1947年的论文中表明,对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统,考虑 C*-代数的不可约 表示就足够了。在量子理论中,这意味着C*-代数是由可观测量 生成的。正如西格尔所指出的,约翰·冯·诺依曼 早先已经证明过这一点,但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。[ 6]
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