ثابت أوميغا - ويكيبيديا

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (ديسمبر 2023)

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2023)

تحتاج هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر إضافية لتحسين وثوقيتها. فضلاً ساهم في تطوير هذه المقالة بإضافة استشهادات من مصادر موثوق بها. من الممكن التشكيك بالمعلومات غير المنسوبة إلى مصدر وإزالتها.

ثابت أوميجا هو ثابت رياضي يُشار إليه بالحرف اليوناني أوميجا ، والذي ينص على:

${\displaystyle \Omega \,e^{\Omega }=1\,}$

قيمة الثابت بالتقريب هي: ...0.5671432904097838729999686622. انه يحقق المعادلات

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega \,}$ وأيضًا ${\displaystyle \ln \Omega =-\Omega \,}$ .

وفقًا للرسمتين البيانيتين للدالتين ${\displaystyle e^{x}}$ و ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ . عند نقطة تقاطعهما، إحداثي ${\displaystyle x}$ هو ثابت أوميغا.

هذا الثابت هو الحل الوحيد لـ (1)W حيث أن W هي دالة W لامبرت . اسمها مشتق من الاسم الآخر لهذه الدالة وهو دالة أوميغا.

يمكن بناء ثابت أوميغا بشكل متكرر من خلال سلسلة من التقريبات التي تبدأ عند Ω₀ معيّن وتستوفي الشرط:

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\,}$

تتقارب السلسلة إلى ثابت أوميغا عندما يقترب n إلى ما لا نهاية . يتم الحفاظ على الحد لأن ثابت أوميغا هو "نقطة ثابتة" للدالة ${\displaystyle e^{-x}}$ .

البناء الأكثر فعالية هو

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}}$

لأن الدالة

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}}$

هناك نفس "النقطة الثابتة"، ولكن في هذه النقطة تكون المشتقة تساوي 0، وبالتالي فإن السلسلة تميل إلى الحد بشكل أسرع بكثير (يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل تكرار).

ثابت أوميغا يحافظ على الُمتَطابِقَة:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\,}$

ثابت أوميغا غير نسبي (الأرقام بعد الفاصلة العشرية لا تنتهي).

البرهان: نفترض سلبيًا أنه عدد نسبي، فلذلك يوجد عددان صحيحان p وq حيث:

${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }$

ويتحقق أن:

${\displaystyle 1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}}$

${\displaystyle e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}}$

لكن e هو عدد متسامٍ ، في حين أن التعبير الذي وصلنا إليه هو جذر متعدد الحدود (بولينوم) بمعاملات نسبية (من الدرجة q)، أي جبري . تناقض!

ولذلك ثابت أوميغا متسامٍ أيضًا. لأنه إذا كان جبريًا فوفقًا لنظرية ليندمان-فايرشتراس ${\displaystyle \exp(\Omega )}$ سيكون متعاليًا، وهكذا أيضًا ${\displaystyle \exp ^{-1}(\Omega )=-\Omega }$ وهو ما يتناقض مع افتراض أن ثابت أوميغا جبري.

• إيريك ويستاين، {{{title}}}، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
• (متسلسلة A030178 في OEIS)