Равенство на Ойлер – Уикипедия
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
В математическия анализ равенството на Ойлер, кръстено на швейцарския математик Ойлер, е
- ,
където
- е неперовото число, основата на естествените логаритми,
- е имагинерната единица, дефинирана като i2 = −1,
- е лудолфовото число, отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър.
Ойлеровото равенство се счита за забележително заради връзката, която полага, между пет от най-ключовите математически константи:
- числото 0.
- числото 1.
- числото π, което е широко разпространено в тригонометрията, евклидовата геометрия и математическия анализ.
- числото , основата на естествения логаритъм, широко разпространено в математиката и множество други дялове на науката. И π, и са трансцендентни числа.
- числото , имагинерната единица в полето на комплексни числа, което съдържа корените на всички възможни многочлени с реални коефициенти, и изследването на които води до редица ключови теореми в областта на алгебрата и математическия анализ.
Обяснение
[редактиране | редактиране на кода]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/220px-Euler%27s_formula.svg.png)
Равенството на Ойлер е специален случай на формулата на Ойлер от комплексния анализ, която гласи, че за всяко реално число x,
където стойностите на синуса и косинуса са в радиани.
В частност, когато x = π, или един полуоборот (180°) около окръжност:
Тъй като
и
следва, че
което дава равенството на Ойлер: