Enzymkinetik – Wikipedia

Die Enzymkinetik ist ein Teilgebiet der biophysikalischen Chemie. Sie beschreibt, wie schnell enzym katalysierte chemische Reaktionen verlaufen. Die Enzymkinetik findet breite Anwendung in Biologie und Medizin, da auch biologische Substrate (Reaktionspartner) – darunter solche, die im Menschen auftreten – untersucht werden. Ein Hauptziel der Enzymkinetik ist die Beschreibung der Konzentrationsabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit mit geeigneten Formeln, sowie die Bestimmung der dazugehörigen Parameter für ein bestimmtes Protein (Enzymaktivität und katalytische Effizienz). Da Enzyme dazu dienen, Reaktionen zu beschleunigen und zu lenken, ist die enzymkinetische Analyse zum Verständnis von Enzymfunktionen unerlässlich.

Theorie für Enzyme mit einer Substratbindungsstelle

Der Erste, der den Zusammenhang zwischen Substrat-Konzentration $[S]$ und Umsatzgeschwindigkeit eines Enzymes $v$ beschrieb, war der französische Physikochemiker Victor Henri 1902. Allerdings war die Bedeutung der Wasserstoffionenkonzentration für enzymatische Reaktionen damals noch nicht bekannt, erst nachdem Sørensen 1909 den pH-Wert definiert und die Pufferung eingeführt hatte, konnten der Deutsche Leonor Michaelis und seine kanadische Post-Doktorandin Maud Menten 1913 die Ergebnisse Henris experimentell bestätigen.^[1] Die Henri-Michaelis-Menten-Gleichung wurde 1925 von G. E. Briggs und J. B. S. Haldane verallgemeinert (Michaelis-Menten-Theorie).

Henris Schlüsselidee war, die enzymatische Reaktion in zwei Phasen zu zerlegen, die Bindung des Substrates S an das Enzym E und die Umsetzung des resultierenden Enzym-Substrat-Komplexes ES in Enzym und Produkt P:

{\begin{aligned}E+S{\underset {k_{-1}}{\overset {k_{1}}{\begin{smallmatrix}\displaystyle \longrightarrow \\\displaystyle \longleftarrow \end{smallmatrix}}}}ES{\overset {k_{cat}}{\longrightarrow }}E+P\end{aligned}}

\quad

(1)

Hierbei sind $k_{1},k_{-1},k_{cat}$ Geschwindigkeitskonstanten, die bei der kinetischen Herleitung des Massenwirkungsgesetzes (MWG) verwendet werden.^[2] Zur Beschreibung eines Reaktionsgleichgewichts der Bindungsreaktion hat die Gleichheit der Geschwindigkeiten von Hin- und Rückreaktion die Form:

k_{1}[E][S]=k_{-1}[ES];\quad \mid :[ES]\quad \mid :k_{1}

wobei $\textstyle [X]$ die Konzentration der Substanz $X$ bezeichnet. Durch die angegebenen mathematischen Operationen entsteht für die Bindungsreaktion die eingeführte Formulierung des MWGs:

{\frac {[E][S]}{[ES]}}={\frac {k_{-1}}{k_{1}}}=K_{\mathrm {d} }.\quad

(2)

Da die (nach Standard im Zähler notierten) Reaktionsprodukte aus einer Dissoziation des Enzym-Substrat-Komplexes hervorgehen, wird die Gleichgewichtskonstante $\textstyle K_{\mathrm {d} }$ als Dissoziationskonstante bezeichnet.

Wie aus Gleichung (2) hervorgeht, hat $\textstyle K_{\mathrm {d} }$ die Dimension einer Konzentration. Für die Substratkonzentration $\textstyle [S]=K_{\mathrm {d} }$ ist die Hälfte aller Enzymmoleküle an Substrat gebunden, die andere Hälfte ist frei; dies wird als Halbsättigung des Enzyms bezeichnet. (Die Weiterreaktion $\textstyle ES\longrightarrow E+P$ bleibt zunächst außer Betracht.)

Rechnung hierzu
$K_{\mathrm {d} }={\frac {[E][S]}{[ES]}};\quad$ (2) Einsetzen von $K_{\mathrm {d} }=[S]\neq 0$ : $[S]={\frac {[E][S]}{[ES]}};\quad \mid \cdot [ES]\quad \mid :[S]\neq 0$ $[ES]=[E]$ , wie behauptet.

$\textstyle K_{\mathrm {d} }$ ist umgekehrt proportional zur Affinität des Enzymes für das Substrat: Je besser das Enzym das Substrat bindet, umso niedriger ist die für eine Halbsättigung des Enzyms erforderliche Substratkonzentration.

Zur Beschreibung eines Reaktionsgleichgewichts der Reaktion (1) insgesamt hat die Gleichheit der Geschwindigkeiten von Hin- und Rückreaktion die Form:

k_{1}[E][S]=k_{-1}[ES]+k_{cat}[ES]=(k_{-1}+k_{cat})[ES];\quad \mid :[ES]\quad \mid :k_{1}

hierbei ist $k_{cat}$ die Geschwindigkeitskonstante der (als nicht umkehrbar vorausgesetzten) Reaktion $\textstyle ES\longrightarrow E+P$ . Durch die angegebenen mathematischen Operationen entsteht für die Reaktion (1) die eingeführte Formulierung des MWGs:

{\frac {[E][S]}{[ES]}}={\frac {k_{-1}+k_{cat}}{k_{1}}}=K_{m}.\quad

(3)

$K_{m}$ heißt Michaelis-Menten-Konstante. Zur Beschreibung der Reaktionsgeschwindigkeit $v$ der betrachteten Katalyse wird (für entsprechend geeignete Fälle) weiter vorausgesetzt:

Die Konzentration $[E]_{t}$ des insgesamt vorhandenen Enzyms ändert sich nicht und ist die Summe aus den Konzentrationen substratgebundenen und freien Enzyms, also $[E]_{t}=[E]+[ES]$ .
Die katalysierte Reaktion ist erster Ordnung, so dass ihre Geschwindigkeit zur Konzentration des Enzym-Substrat-Komplexes proportional ist, also $v=k_{cat}\cdot [ES]$ .
Eine maximale Reaktionsgeschwindigkeit $v_{\mathrm {max} }$ wird als Rechengröße eingeführt. Diese entspricht dem fiktiven Fall, dass sämtliches vorhandenes Enzym als Enzym-Substrat-Komplex vorliegt, also $v_{\mathrm {max} }=k_{cat}\cdot [E]_{t}$ .

Durch Einführung dieser Bedingungen lässt sich (3) in die Michaelis-Menten-Gleichung umformen, die $v$ in Abhängigkeit von der Substratkonzentration $[S]$ darstellt:

v={\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot [S]}{K_{m}+[S]}}\quad

Umformung
${\frac {v}{v_{\mathrm {max} }}}={\frac {k_{cat}\cdot [ES]}{k_{cat}\cdot [E]_{t}}}={\frac {[ES]}{[E]_{t}}}={\frac {[ES]}{[E]+[ES]}};$ um $\textstyle {\frac {[E][S]}{[ES]}}=K_{M}$ in den Bruch einzuführen, wird dieser mit $\textstyle {[S] \over [ES]}$ erweitert: ${\frac {v}{v_{\mathrm {max} }}}={\frac {[ES]}{[E]+[ES]}}={{[ES][S] \over [ES]} \over {[E][S] \over [ES]}+{[ES][S] \over [ES]}}\quad ={[S] \over K_{M}+[S]};\quad \mid \cdot v_{\mathrm {max} }$ $v={\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot [S]}{K_{m}+[S]}};\quad$ Michaelis-Menten-Gleichung

Der Graph dieser Gleichung ist Teil einer Hyperbel, die sich für zunehmende $[S]$ der waagerechten Asymptote $v=v_{\mathrm {max} }$ nähert.

Rechnung zur Klassifikation des Graphen als Teil einer Hyperbel; Betrachtung der Asymptoten
A. Da $v_{\mathrm {max} }$ und $K_{m}$ Konstanten sind, ist die Funktion $v=f_{1}([S])={\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot K_{m}}{[S]}};\quad [S]\in \mathbb {R}$ eine Hyperbel mit der waagerechten Asymptote $v=0$ für $[S]\to \pm \infty$ und der senkrechten Asymptote $[S]=0$ für $[S]\to 0$ . Verschiebung um $-K_{m}$ in $[S]$ -Richtung ergibt: $v=f_{2}([S])={\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot K_{m}}{[S]-(-K_{m})}}={\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot K_{m}}{K_{m}+[S]}}$ (Nachfolgende) Spiegelung an der [S]-Achse ergibt: $v=f_{3}([S])=-{\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot K_{m}}{K_{m}+[S]}}$ (Nachfolgende) Verschiebung um $+v_{\mathrm {max} }$ in $v$ -Richtung ergibt: $v=f_{4}([S])\quad =v_{\mathrm {max} }-{\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot K_{m}}{K_{m}+[S]}}\quad =v_{\mathrm {max} }\cdot (1-{\frac {K_{m}}{K_{m}+[S]}})\quad =v_{\mathrm {max} }\cdot {\frac {K_{m}+[S]-K_{m}}{K_{m}+[S]}}\quad ={\frac {v_{\mathrm {max} }\cdot [S]}{K_{m}+[S]}};$ da $f_{4}([S])$ durch eine Verkettung von Kongruenzabbildungen aus $f_{1}([S])$ erzeugt werden kann, ist $f_{4}([S])$ ebenfalls eine Hyperbel. Der Graph der Michaelis-Menton-Gleichung ist die Teilmenge von $f_{4}([S])$ , für die $[S]\geq 0$ ist. B. Die beiden zuerst genannten Kongruenzabbildungen ändern nichts an der waagerechten Asymptote der Hyperbel, die letztgenannte verschiebt sie um $+v_{\mathrm {max} }$ in $v$ -Richtung. Also hat $f_{4}([S])$ die Asymptote $v=v_{\mathrm {max} }$ für $[S]\to \pm \infty$ ; der in $f_{4}([S])$ enthaltenen Graphen der Michaelis-Menton-Gleichung strebt für $[S]\to +\infty$ gegen diese Asymptote. Die zuerst genannte Kongruenzabbildungen verschiebt die senkrechte Asymptote der Hyperbel um $-K_{M}$ in $v$ -Richtung, die beiden letztgenannten ändern nichts an ihr. Also hat $f_{4}([S])$ die Asymptote $[S]=-K_{M}$ für $[S]\to -K_{M}$ .

Wie aus Gleichung (3) hervorgeht, hat auch $\textstyle K_{m}$ die Dimension einer Konzentration. Für die Substratkonzentration $\textstyle [S]=K_{m}$ ist $\textstyle v={\frac {v_{\mathrm {max} }}{2}}$ .

Rechnung hierzu
Einsetzen von $K_{m}=[S]$ in die Michaelis-Menton-Gleichung: $\ v={v_{\mathrm {max} }\cdot [S] \over [S]+[S]}={v_{\mathrm {max} }\cdot [S] \over 2\cdot [S]}={\frac {v_{\mathrm {max} }}{2}}$ .

Zur Bestimmung von $v_{\text{max}}$ und $K_{m}$ aus Messreihen von $v$ und $[S]$ dienen computergestützte Verfahren wie die nichtlineare Regressionsanalyse (Simplex- oder Levenberg-Marquardt-Verfahren). Graphische Extrapolationsverfahren (Linearisierungen) wie etwa die doppelt-reziproke Auftragung nach Lineweaver und Burk sollten dafür nicht verwendet werden, da sie zu ungenau sind. Sie eignet sich jedoch sehr gut zur Präsentation der Ergebnisse enzymkinetischer Versuche.

Theorie für Enzyme mit mehreren Substratbindungsstellen

Die Hill-Gleichung und ihre Herleitung aus dem Massenwirkungsgesetz

Die Hill-Gleichung wurde ursprünglich von Archibald Vivian Hill eingeführt, um die Sauerstoffbindung an Hämoglobin in Abhängigkeit von verschiedenen Sauerstoffkonzentrationen mathematisch zu beschreiben.^[3] Die hier beschriebene Hill-Gleichung ist eine andere als die Hill-Gleichung zur Beschreibung der Muskelkontraktion, an deren Erstellung der gleiche Autor beteiligt war.^[4]

Obwohl die Bindung von Sauerstoff an Hämoglobin kein katalytischer Vorgang ist, lässt sich mit einer Hill-Gleichung auch die Kinetik enzymatischer Katalysen beschreiben, insbesondere auch solcher, deren Kinetik sich nicht mit einer Michaelis-Menten-Gleichung beschreiben lässt. Hier folgt eine Herleitung der Hill-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz, die die Analogie zur Herleitung der Michaelis-Menten-Gleichung hervorhebt. Entsprechend bedeutet die Variable $n$ die Anzahl der Bindungsstellen, die ein Molekül Enzym für je ein Molekül Substrat bereithält, und ist damit eine positive natürliche Zahl. Die experimentell gefundenen Werte von $n$ weichen hiervon ab (s. u. "Der empirische Hill-Koeffizienten $n_{H}$ als Maß der Kooperativität von Enzymen").

Die Bindung von $n$ Molekülen Substrat an ein Enzym lässt sich modellieren mit:

{\begin{aligned}E+nS{\underset {k_{-1}'}{\overset {k_{1}'}{\begin{smallmatrix}\displaystyle \longrightarrow \\\displaystyle \longleftarrow \end{smallmatrix}}}}ES_{n}\end{aligned}}

\quad

(1')

Wie in Gleichung (1) sind $k_{1}',k_{-1}'$ Geschwindigkeitskonstanten, die bei der kinetischen Herleitung des Massenwirkungsgesetzes (MWG) verwendet werden. Zur Beschreibung eines Reaktionsgleichgewichts der Bindungsreaktion hat die Gleichheit der Geschwindigkeiten von Hin- und Rückreaktion die Form:

k_{1}'[E][S]^{n}=k_{-1}'[ES_{n}];\quad \mid :[ES_{n}]\quad \mid :k_{1}'\quad

hierbei ist $[E]$ die Konzentration freien Enzyms, $[S]$ die Substratkonzentration, $[ES_{n}]$ die Konzentration der Enzym-Substrat-Komplexe mit $n$ Molekülen Substrat. Der Exponent $n$ heißt Hill-Koeffizient. Durch die angegebenen mathematischen Operationen entsteht für die Bindungsreaktion die eingeführte Formulierung des MWGs:

{\frac {[E][S]^{n}}{[ES_{n}]}}={k_{-1}' \over k_{1}'}=K_{\mathrm {D} }.\quad

(2')

Analog der Dissoziationskonstante $K_{d}$ in Gleichung (2) heißt $K_{D}$ scheinbare Dissoziationskonstante. Das Adjektiv "scheinbar" trägt der Tatsache Rechnung, dass die experimentell gemessenen Werte für $n$ von den nach diesem Modell zu erwartenden abweichen.

Wie aus Gleichung (2') hervorgeht, hat die (neu einzuführende) Konstante

K_{A}=K{_{\mathrm {D} }}^{1 \over n}\Leftrightarrow K{_{A}}^{n}=K_{\mathrm {D} }\quad

(3')

die Dimension einer Konzentration. Für die Substratkonzentration $\textstyle [S]=K_{A}$ ist die Hälfte aller Enzymmoleküle an Substrat gebunden, die andere Hälfte ist frei; dies wird als Halbsättigung des Enzyms bezeichnet.

Rechnung
Gleichsetzen der Gleichungen (2') und (3') ergibt: ${\frac {[E][S]^{n}}{[ES_{n}]}}=\quad K_{\mathrm {D} }=\quad K{_{A}}^{n}\quad$ Einsetzen von $K_{A}=[S]$ : $[S]^{n}={\frac {[E][S]^{n}}{[ES_{n}]}};\quad \mid \cdot [ES_{n}]\quad \mid :[S]^{n}\neq 0$ $[ES_{n}]=[E]$ , wie behauptet.

$\textstyle K_{A}$ wird daher als Halbsättigungskonstante bezeichnet^[5] und auch $\textstyle K_{50}$ (für „50%“) geschrieben. $K_{A}$ ist (wie die Konstante $\textstyle K_{\mathrm {d} }$ der Michaelis-Menten-Gleichung) umgekehrt proportional zur Affinität des Enzymes für das Substrat: Je besser das Enzym das Substrat bindet, umso niedriger ist die für eine Halbsättigung des Enzyms erforderliche Substratkonzentration.

Wenn weiter vorausgesetzt wird,

dass sich die Konzentration $[E]_{t}$ des insgesamt vorhandenen Enzyms nicht ändert und die Summe aus den Konzentrationen substratgebundenen und freien Enzyms ist, also $[E]_{t}=[E]+[ES_{n}]$ ,

dann ist der Anteil $\theta$ substratgebundenen Enzyms an insgesamt vorhandenem mit Gleichung (2'):

\theta ={[ES_{n}] \over [E]_{t}}={[S]^{n} \over K_{D}+[S]^{n}};\quad

Hill-Gleichung

Rechnung
$\theta ={[ES_{n}] \over [E]_{t}}={[ES_{n}] \over [E]+[ES_{n}]};$ um $\textstyle {\frac {[E][S]^{n}}{[ES_{n}]}}=K_{\mathrm {D} }$ in den Bruch einzuführen, wird dieser mit $\textstyle {[S]^{n} \over [ES_{n}]}$ erweitert: $\theta ={[ES_{n}] \over [E]+[ES_{n}]}={{[ES_{n}][S]^{n} \over [ES_{n}]} \over {[E][S]^{n} \over [ES_{n}]}+{[ES_{n}][S]^{n} \over [ES_{n}]}}\quad ={[S]^{n} \over K_{\mathrm {D} }+[S]^{n}};\quad$ Hill-Gleichung

Um mit der Hill-Gleichung die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ der Katalyse durch ein Enzym mit mehreren Bindungsstellen zu beschreiben, ist hinreichend, weiter vorauszusetzen:

Eine maximale Reaktionsgeschwindigkeit $v_{\mathrm {max} }$ wird als Rechengröße eingeführt. Diese entspricht dem fiktiven Fall, dass sämtliches vorhandene Enzym als Enzym-Substrat-Komplex vorliegt, also $\theta =1$ .
$v\leq v_{\mathrm {max} }$ ist zum Anteil $\theta$ substratgebundenen Enzyms an insgesamt vorhandenem proportional.

Dann hat die Proportionalität die Form

{\frac {v}{v_{\text{max}}}}=\theta ;\quad

(4)

Rechnung
Wegen der vorausgesetzten Proportionalität von $v$ und $v_{\text{max}}$ zu $\theta$ existiert ein Proportionalitätsfaktor $k$ so, dass: $v=k\cdot \theta \quad$ und $\quad v_{\text{max}}=k\cdot 1$ Damit ist das Verhältnis von $v$ zu $v_{\text{max}}$ : ${\frac {v}{v_{\mathrm {max} }}}={\frac {k\cdot \theta }{k\cdot 1}}=\theta \quad$ (4)

Gleichsetzen mit der Hill-Gleichung ergibt eine Gleichung, die $v$ in Abhängigkeit von der $n$ -ten Potenz $[S]^{n}$ der Substratkonzentration darstellt:

v={\frac {v_{\text{max}}\cdot [S]^{n}}{K_{D}+[S]^{n}}};\quad

(5)

Rechnung
Gleichsetzen von Gleichung (4) mit der Hill-Gleichung ergibt: ${\frac {v}{v_{\text{max}}}}=\theta ={[S]^{n} \over K_{D}+[S]^{n}};\quad \mid \cdot v_{\text{max}}$ $v={v_{\text{max}}\cdot [S]^{n} \over K_{D}+[S]^{n}}\quad$ (5)

Die Herleitung der Gleichung (5) ist der Herleitung der Michaelis-Menten-Gleichung größtenteils analog. Unterschiede sind:

Die Geschwindigkeitskonstante $k_{cat}$ der katalysierten Reaktion wird nicht in die Herleitung von Gleichung (5) einbezogen: $K_{D}$ hängt im Gegensatz zu $K_{M}$ formal nicht von $k_{cat}$ ab.
Die Ordnung der katalysierten Reaktion wird bei der Herleitung von (5) nicht explizit betrachtet.

Statt der beiden letztgenannten Voraussetzungen geht die in Gleichung (4) formulierte Proportionalität in die Herleitung ein; ein abstrakter Proportionalitätsfaktor $k$ tritt an die Stelle von $k_{cat}$ .

Weitere Darstellung für θ und für v. Die Sättigungsfunktion

In der Hill-Gleichung ist $\theta$ von $n$ und von $K_{D}$ abhängig, $K_{D}$ selbst aber auch von $n$ (siehe Gleichung (2')). Das Verhalten der Gleichung in Abhängigkeit von $n$ ist einheitlicher darstellbar (s. u. halblogarithmisch aufgetragene Graphen), wenn $K_{D}$ durch $K_{A}$ ersetzt wird:

\theta ={[S]^{n} \over K_{D}+[S]^{n}}={1 \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n}};\quad

(6)

Umformung
Einsetzen von (3'): $K{_{A}}^{n}=K_{\mathrm {D} }$ in die Hill-Gleichung ergibt: $\theta ={[S]^{n} \over [S]^{n}+K{_{A}}^{n}};\quad$ mit $\textstyle {1 \over [S]^{n}}$ erweitern und $\textstyle {[S]^{n} \over [S]^{n}}$ im Zähler und Nenner kürzen: $\theta ={1 \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n}};\quad$ (6)

Gleichsetzen der Gleichungen (4) und (6) ergibt eine Darstellung von $v$ , die $K_{D}$ ebenfalls nicht mehr enthält:

v={v_{\mathrm {max} } \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n}};\quad

(7)

Rechnung
Gleichsetzen der Gleichungen (4) und (6) ergibt: ${v \over v_{\mathrm {max} }}=\theta ={1 \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n}};\quad \mid \cdot v_{\mathrm {max} }$ $v={v_{\mathrm {max} } \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n}};\quad$ (7)

Wenn an ein Molekül Enzym $n$ Moleküle Substrat gebunden sind und die Konzentration der Enzym-Substrat-Komplexe $[ES_{n}]$ ist, so ist die Konzentration des gebundenen Substrats $n\cdot [ES_{n}]$ . Als Sättigungsfunktion $r$ wird das Verhältnis der Konzentration gebundenen Substrats zur Konzentration des insgesamt vorhandenen Enzyms bezeichnet:^[6]

r={n\cdot [ES_{n}] \over [E]_{t}}

Der Zusammenhang zur Hill-Gleichung ist wegen $\textstyle \theta ={[ES_{n}] \over [E]_{t}}$ gegeben mit

r=n\cdot \theta .\quad

(8)

Der empirische Hill-Koeffizienten n_H als Maß der Kooperativität von Enzymen

Gemäß Herleitung der Hill-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz (s. o.) ist der Hill-Koeffizient $\textstyle n$ die Anzahl der Bindungsstellen eines Enzyms und daher eine natürliche Zahl. (Genau) für $\textstyle n=1$ sind die Konstanten $\textstyle K_{D}$ und $\textstyle K_{A}=K{_{D}}^{1 \over n}$ gleich. Auch sind genau für $n=1$ die Gleichungen (5) und (7) einer Michaelis-Menten-Gleichung äquivalent, indem die Konstante $\textstyle K_{D}=K_{A}$ als Michaelis-Menten-Konstante $\textstyle K_{M}$ aufgefasst wird.

Rechnung für Gleichung (7)
$v={v_{\mathrm {max} } \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n}};\quad$ (7) $n=1$ einsetzen und mit $[S]$ erweitern: $v={v_{\mathrm {max} }\cdot [S] \over [S]+{K_{A}\cdot [S] \over [S]}};$ mit $K_{A}=K_{M}$ : $v={v_{\mathrm {max} }\cdot [S] \over [S]+K_{M}};\quad$ Michaelis-Menten-Gleichung

Zu Unterscheidung von $n$ wird mit der Variable $n_{H}$ derjenige Hill-Koeffizient bezeichnet, für den die Hill-Gleichung die Kinetik eines solchen Enzyms empirisch am besten beschreibt. $n_{H}$ ist in der Regel kleiner als $n$ und keine natürliche Zahl. Die Theorie der Hill-Gleichung ist bei Verwendung von $n_{H}$ nur dann mathematisch konsistent, wenn $n$ in allen zur Beschreibung der Kinetik verwendeten Gleichungen durch $n_{H}$ ersetzt wird. $\quad \quad$ (9)

In Folgenden seien die Konstanten $K_{A}$ und $v_{\mathrm {max} }$ in allen zu vergleichenden Situationen der jeweils betrachteten Enzyme gleich. $\mathrm {-}$ Der Unterschied zwischen $n_{H}$ und $n$ wird dadurch erklärt, dass Enzyme mit mehreren Substratbindungsstellen aus mehreren Untereinheiten bestehen, die jeweils eine Bindungsstelle tragen und demzufolge für sich betrachtet mit $n_{H}=1$ und also einer Michaelis-Menten-Gleichung beschrieben werden können.

Ein als positive Kooperativität bezeichnetes Zusammenwirken der Untereinheiten kann aber auch bewirken, dass ein solches Enzym bei einer vorgegebenen Substratkonzentration $[S]$ schneller reagiert, als gemäß einer Michaelis-Menten-Gleichung (mit $K_{M}=K_{A}$ ) zu erwarten wäre. Eine Hill-Gleichung beschreibt für Konzentrationen $[S]>K_{A}$ genau dann positive Kooperativität, wenn $n_{H}>1$ ist. Weiter reagiert ein Enzym bei positiver Kooperativität bei einer vorgegebenen Substratkonzentrationen $[S]>K_{A}$ umso schneller, je größer $n_{H}$ ist. Logische Obergrenze für $n_{H}$ ist (die Anzahl der Bindungsstellen) $n$ .

Ganz entsprechend kann ein als negative Kooperativität bezeichnetes Zusammenwirken von Untereinheiten eines Enzyms bewirken, dass jenes bei einer vorgegebenen Substratkonzentration $[S]$ langsamer reagiert, als gemäß einer Michaelis-Menten-Gleichung (mit $K_{M}=K_{A}$ ) zu erwarten wäre. Eine Hill-Gleichung beschreibt für Konzentrationen $[S]>K_{A}$ genau dann negative Kooperativität, wenn $n_{H}<1$ ist, und bei einer vorgegebenen Substratkonzentrationen $[S]>K_{A}$ reagiert ein Enzym bei negativer Kooperativität umso langsamer, je kleiner $n_{H}$ ist.

Beweis
Die folgende Ungleichung (i) verwendet Gleichung (7) zur Berechnung der Geschwindigkeiten zweier Enzyme, deren Situationen sich ausschließlich im Hill-Koeffizienten $n_{H}$ bzw. $n{_{H}}'$ unterscheiden. Die folgenden Äquivalenzumformungen führen (i) auf die im Text genannten Bedingungen zurück. ${v_{\mathrm {max} } \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n_{H}}}>{v_{\mathrm {max} } \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n{_{H}}'}};\quad$ (i) der übersichtlicheren Schreibweise dient die Substitution $\textstyle q:={K_{A} \over [S]}$ . Nach (notwendiger) zusätzlicher Voraussetzung gilt $[S]>K_{A}\quad \mid :[S]>0\Rightarrow$ $1>{K_{A} \over [S]}=q>0,\quad$ (ii) denn für die Überlegung kann $K_{A},[S]>0$ vorausgesetzt werden. Einsetzen ergibt: ${v_{\mathrm {max} } \over 1+q^{n_{H}}}>{v_{\mathrm {max} } \over 1+q^{n{_{H}}'}};\quad \mid :v_{\mathrm {max} }>0$ ${1 \over 1+q^{n_{H}}}>{1 \over 1+q^{n{_{H}}'}};\quad \mid$ positive Brüche stürzen $1+q^{n_{H}}<1+q^{n{_{H}}'};\quad \quad \mid -1\quad \mid :q^{n{_{H}}'}>0$ $q^{n_{H}-n{_{H}}'}<1;\quad \quad \quad \quad \mid \log$ zu einer wählbaren Basis; mit der Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz: $(n_{H}-n{_{H}}')\cdot \log {q}<0;\quad \mid :\log {q}<0$ wegen $0<q<1$ nach (ii) $n_{H}-n{_{H}}'>0\quad \Leftrightarrow \quad n_{H}>n{_{H}}'$ Für $n{_{H}}'=1$ ist die rechte Seite von (i) dem Funktionsterm eine Michaelis-Menten-Gleichung äquivalent (s. o. "Rechnung zu Gleichung (7)"). Daher zeigt Betrachtung von $n{_{H}}'=1$ , dass $n_{H}>1$ in einer Hill-Gleichung für $[S]>K_{A}$ positive Kooperativität beschreibt, wie behauptet. Betrachtung beliebiger Paare $n_{H}>n{_{H}}'>1$ zeigt, dass von zwei (vergleichbaren) Enzymen, die positive Kooperativität zeigen, dasjenige mit größerem Hill-Koeffizienten für $[S]>K_{A}$ schneller reagiert, wie behauptet. Für $n_{H}=1$ ist die linke Seite von (i) dem Funktionsterm eine Michaelis-Menten-Gleichung äquivalent (s. o. "Rechnung zu Gleichung (7)"). Daher zeigt Betrachtung von $n_{H}=1$ , dass $n{_{H}}'<1$ in einer Hill-Gleichung für $[S]>K_{A}$ negative Kooperativität beschreibt, wie behauptet. Betrachtung beliebiger Paare $1>n_{H}>n{_{H}}'$ zeigt, dass von zwei (vergleichbaren) Enzymen, die negative Kooperativität zeigen, dasjenige mit kleinerem Hill-Koeffizienten für $[S]>K_{A}$ langsamer reagiert, wie behauptet.

Ein Enzym mit mehreren Bindungsstellen, bei dem ein solches Zusammenwirken der Untereinheiten nicht zu beobachten ist, heißt nicht kooperativ.

Kooperativität ist nicht nur für Enzyme beschrieben, sondern auch für Nicht-Enzym-Proteine, an die mehrere andere Moleküle binden (s. o. Herleitung der Hill-Gleichung). Für die koordinative Bindung von Sauerstoff an Hämoglobin, das aus $n=4$ je ein Sauerstoffmolekül bindenden Untereinheiten besteht, wurde ein Hill-Koeffizient $n_{H}$ von 2,8 bestimmt.^[7]

Berechnung von n_H

Sind die Substratkonzentrationen $[S]=\mathrm {EC_{10}}$ bzw. $[S]=\mathrm {EC_{90}}$ bekannt, bei denen ein Enzym mit 10 % bzw. 90 % seiner Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm {max} }$ reagiert, so lässt sich sein empirischer Hill-Koeffizient $n_{H}$ bestimmen:

n_{H}=\mathrm {\frac {\log(81)}{\log(EC_{90}/EC_{10})}}

Verallgemeinerung: Sind zwei beliebige verschiedene Substratkonzentrationen $EC_{P}$ bzw. $EC_{Q}$ bekannt, bei denen ein Enzym mit 0%< P% <100% bzw. 0%< Q% <100% seiner Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm {max} }$ reagiert, so ist sein empirischer Hill-Koeffizient $n_{H}$ durch den folgenden Quotienten gegeben:

n_{H}={\bigg (}\log {\Big (}{100\cdot P-P\cdot Q \over 100\cdot Q-P\cdot Q}{\Big )}{\bigg )}:{\bigg (}\log {\Big (}{EC_{P} \over EC_{Q}}{\Big )}{\bigg )}

Herleitung
A. Mit Überlegung (9) ist bei Betrachtung des empirischen Hill-Koeffizienten $n$ in Gleichung (6) durch $n_{H}$ zu ersetzen. Die folgenden Umformungen lösen die entstehende Gleichung nach $[S]^{n_{H}}$ auf: $\theta ={1 \over 1+({K_{A} \over [S]})^{n_{H}}};\quad \quad \mid$ Übergang zur reziproken Zahl $\quad \mid -1$ ${1 \over \theta }-1={1-\theta \over \theta }={{K_{A}}^{n_{H}} \over [S]^{n_{H}}};\quad \mid$ Brüche stürzen $\quad \mid \cdot {K_{A}}^{n_{H}}$ ${{K_{A}}^{n_{H}}\cdot \theta \over 1-\theta }=[S]^{n_{H}};\quad$ (i) B. Mit Gleichung (4): ${\frac {v}{v_{\mathrm {max} }}}=\theta ;$ ist $\theta$ außer durch die Hill-Gleichung auch durch den Anteil der gemessenen Reaktionsgeschwindigkeit $v$ an der Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm {max} }$ gegeben; dieser Anteil kann als Prozentsatz oder als Dezimalzahl angegeben sein. - Einsetzen von $\theta =90\%=0{,}9$ für $[S]=\mathrm {EC_{90}}$ bzw. von $\theta =10\%=0{,}1$ für $[S]=\mathrm {EC_{10}}$ in (i) ergibt: ${{K_{A}}^{n_{H}}\cdot 0{,}9 \over 1-0{,}9}={K_{A}}^{n_{H}}\cdot 9=\mathrm {EC_{90}} ^{n_{H}}\quad$ (ii) ${{K_{A}}^{n_{H}}\cdot 0{,}1 \over 1-0{,}1}={{K_{A}}^{n_{H}}\cdot {1 \over 9}}=\mathrm {EC_{10}} ^{n_{H}}\quad$ (iii) C. (ii) und (iii) ergeben die Proportionalität: ${\Big (}{\mathrm {EC_{90}} \over \mathrm {EC_{10}} }{\Big )}^{n_{H}}={\mathrm {EC_{90}} ^{n_{H}} \over \mathrm {EC_{10}} ^{n_{H}}}={{K_{A}}^{n_{H}}\cdot 9 \over {{K_{A}}^{n_{H}}\cdot {1 \over 9}}}=81;$ Mit einem Logarithmus zu einer wählbaren Basis und der Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz: $n_{H}\cdot \log {\Big (}{\mathrm {EC_{90}} \over \mathrm {EC_{10}} }{\Big )}=\log 81;\quad \mid :\log {\Big (}{\mathrm {EC_{90}} \over \mathrm {EC_{10}} }{\Big )}>0,\quad$ da $\mathrm {EC_{90}} >\mathrm {EC_{10}}$ $n_{H}={\log 81 \over \log {\Big (}{\mathrm {EC_{90}} \over \mathrm {EC_{10}} }{\Big )}},\quad$ wie angegeben. D. Verallgemeinerung: Für zwei beliebige verschiedene Anteile $0<p<1$ bzw. $0<q<1$ von $\theta$ und den zugehörigen Substratkonzentrationen $[S]=EC_{P=100p}$ bzw. $[S]=EC_{Q=100q}$ ergibt der gleiche Rechenweg: ${{K_{A}}^{n_{H}}\cdot p \over 1-p}={EC_{P}}^{n_{H}}\quad$ (ii') ${{K_{A}}^{n_{H}}\cdot q \over 1-q}={EC_{Q}}^{n_{H}}\quad$ (iii') $n_{H}\cdot \log {\Big (}{EC_{P} \over EC_{Q}}{\Big )}=\log {{{K_{A}}^{n_{H}}\cdot p \over 1-p} \over {{K_{A}}^{n_{H}}\cdot q \over 1-q}}=\log {\Big (}{p(1-q) \over (1-p)q}{\Big )}=\log {\Big (}{p-pq \over q-pq}{\Big )}=\log {\Big (}{100\cdot P-P\cdot Q \over 100\cdot Q-P\cdot Q}{\Big )},$ wobei der Bruch im letzten Schritt mit $100^{2}$ erweitert wurde; mit Division durch den (nach Konstruktion von null verschiedenen) Faktor $\textstyle \log {\Big (}{EC_{P} \over EC_{Q}}{\Big )}$ folgt die angegebene Formel.

Nicht linearisierte Graphen

Direkt-lineare Auftragung einer Enzymkinetik nach Michaelis-Menten

Enzymkinetische Parameter lassen sich bequem und präzise direkt aus einer Sättigungshyperbel gemäß der Abbildung herleiten („direkt-lineare Auftragung“ auch „Cornish-Bowden-Diagramm“ genannt). In dieser Hyperbel ist die enzymatische Umsatzgeschwindigkeit $v$ (Ordinate) als Funktion der Substratkonzentration $[S]$ (Abszisse) dargestellt.

Für die direkt-lineare Auftragung überträgt man die Anfangsgeschwindigkeiten des enzymatischen Umsatzes direkt in das $v$ - $[S]$ -Diagramm. Die $[S]$ -Werte sind vor Versuchsbeginn bekannt (eingestellte Substratkonzentrationen); während der Versuchsreihe ist dann der Ordinatenwert für $v$ (die Anfangsgeschwindigkeit) nachzutragen. Aus der maximalen Umsatzgeschwindigkeit $v_{\text{max}}$ lässt sich die halbe maximale Umsatzgeschwindigkeit ${\tfrac {1}{2}}v_{\text{max}}$ ableiten. Graphisch kann man daraus den Koordinatenwert für $K_{m}$ ermitteln. Die katalytische Effizienz folgt übrigens aus der Steigung der Tangente an den Ursprung: ${\tfrac {v_{\text{max}}}{K_{m}}}$ ; daraus ergibt sich ${\tfrac {k_{cat}}{K_{m}}}$ .

Berechnung der Steigung der Tangente an den Ursprung
Die Funktionsgleichung der Hyperbel ist die Michaelis-Menten-Gleichung $v([S])=\quad {\frac {v_{\mathrm {max} }[S]}{K_{\mathrm {m} }+[S]}};$ die Steigung $m_{t}$ der Tangente an den Ursprung kann als Grenzwert einer Sekantensteigung aufgefasst werden, die durch einen Differenzenquotienten gegeben ist. Das ergibt bei Näherung von rechts: $m_{t}=\lim _{h\rightarrow 0,\,h>0}{\frac {v(0+h)-v(0)}{h}}=\quad$ $\lim _{h\rightarrow 0,\,h>0}{v(h)-0 \over h}=\quad$ $\lim _{h\rightarrow 0,\,h>0}{\frac {v_{\mathrm {max} }h}{(K_{\mathrm {m} }+h)\cdot h}}=\quad$ ${\frac {v_{\mathrm {max} }}{K_{\mathrm {m} }}}.$ Bemerkung: Der Standard-Weg über die Ableitung der Funktion $v([S])$ nach Quotientenregel erfordert wegen der nur einseitige Differenzierbarkeit von $v([S])$ an der Stelle $[S]=0$ zusätzliche Überlegungen und ist zudem rechenaufwändiger.

Die Fehlerbehandlung wird im direkt-linearen Plot weitgehend vereinfacht: Mittelwertsbildung gibt dann die wahrscheinlichen Werte für die Parameter $K_{m}$ und $v_{\text{max}}$ . Bei Inspektion der Streubreite der Messpunkte (nicht identisch mit deren Standardabweichung) können Ausreißer leicht identifiziert und sogenannte Mediane abgelesen werden.

An dieser Stelle sei erwähnt, dass alle (auch die nachfolgenden) Auswertungsverfahren nicht nur für Enzyme, sondern auch für die Bindungsvorgänge von Carriern oder Rezeptoren Gültigkeit haben. Historisch gesehen wurden all diese Methoden (Hanes und Eadie-Hofstee-Auftragung für Enzyme, Scatchard und Hill-Auftragungen für Carrier) ursprünglich von Woolf entwickelt.

Direkt-linear aufgetragene Graphen einer Enzymkinetik nach Hill für unterschiedliche Werte von n_H

Die aus der Hill-Gleichung hergeleitete Gleichung (5) lässt sich als eine Funktion auffassen, die die empirisch gefundene Reaktionsgeschwindigkeit $v$ abhängig von der Substratkonzentration $[S]$ beschreibt. Nach Überlegung (9) ist bei der Formulierung der Funktion $n$ durch $n_{H}$ zu ersetzen:

f([S])=v={v_{\mathrm {max} }\cdot [S]^{n_{H}} \over K_{D}+[S]^{n_{H}}}.

f([S]) ist überall streng monoton steigend und nähert sich für zunehmende $[S]$ der waagerechten Asymptote $v=v_{\mathrm {max} }$ . Der Graph von f([S]) zeigt aber je nach Wert von $n_{H}$ unterschiedliches Verhalten:^[8]

Für $n_{H}=1$ ist er Teil einer Hyperbel, da Gleichung (5) genau dann einer Michaelis-Menten-Gleichung äquivalent ist (s. o.).
Für $n_{H}>1$ hat er genau einen Wendepunkt bei $\textstyle [S]_{w}={\Big (}K_{D}\cdot {n_{H}-1 \over n_{H}+1}{\Big )}^{1 \over n_{H}}=K_{A}\cdot {\Big (}{n_{H}-1 \over n_{H}+1}{\Big )}^{1 \over n_{H}}$ . Unter Mitberücksichtigung ihres Steigungsverhaltens ist $f([S])$ daher in diesem Fall eine Sigmoidfunktion. Der Fall $n_{H}>1$ lässt sich von den Fällen $n_{H}=1$ und $n_{H}<1$ durch bloße Betrachtung des Funktionsgraphen unterscheiden.
Für $n_{H}<1$ hat er keinen Wendepunkt und sieht einem Teil einer Hyperbel ähnlich. Ein solcher Graph heißt pseudohyperbol, weil sich der Fall $n_{H}<1$ vom Fall $n_{H}=1$ durch bloße Betrachtung des Graphen nicht unterscheiden lässt.

Rechnerische Nachweise
Vorüberlegungen: Für die vorgelegte Problemstellung kann $[S]\geq 0$ (als Definitionsbereich von $f([S])$ ) sowie $v_{\mathrm {max} },K_{D},n_{H}>0$ vorausgesetzt werden. (i) Für beliebige $0\neq a\in \mathbb {R}$ sind Potenzfunktionen $[S]\rightarrow [S]^{a}$ streng monoton, und ihre Werte durchlaufen für $[S]>0$ sämtliche positiven reellen Zahlen. (ii) Für beliebige $n_{H}\in \mathbb {R}$ sind für $K_{D},[S]>0$ die Potenzen $[S]^{n_{H}},[S]^{n_{H}-1},[S]^{n_{H}-2},(K_{D}+[S]^{n_{H}})^{2},(K_{D}+[S]^{n_{H}})^{3}>0$ . (iii) A. Für beliebige $n_{H}>0\Leftrightarrow -n_{H}<0$ ergibt die Konvergenz der Potenzfunktion: $\lim _{[S]\to \infty }{K_{D} \over [S]^{n_{H}}}=K_{D}\cdot \lim _{[S]\to \infty }[S]^{-n_{H}}=K_{D}\cdot 0=0;\quad$ hieraus folgt für den Funktionsterms von $\textstyle f([S])$ nach Erweitern um $\textstyle {1 \over [S]^{n_{H}}}$ : $\lim _{[S]\to \infty }{v_{\mathrm {max} }\cdot [S]^{n_{H}} \over K_{D}+[S]^{n_{H}}}=\lim _{[S]\to \infty }{v_{\mathrm {max} }\cdot {[S]^{n_{H}} \over [S]^{n_{H}}} \over {K_{D} \over [S]^{n_{H}}}+{[S]^{n_{H}} \over [S]^{n_{H}}}}={v_{\mathrm {max} }\cdot 1 \over 0+1}=v_{\mathrm {max} },\quad$ wie behauptet. B. Die Ableitung $f'([S])={v_{\mathrm {max} }\cdot K_{D}\cdot n_{H}\cdot [S]^{n_{H}-1} \over (K_{D}+[S]^{n_{H}})^{2}}$ ist mit (i) und (iii) überall positiv für $[S]>0$ , sodass $f([S])$ für alle $[S]>0$ streng monoton steigt. Zusätzliche Berücksichtigung von $f(0)=0$ und $f([S]>0)>0$ zeigt, dass $f([S])$ im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigt, wie behauptet. C. Die Wendepunkte von $f([S])$ sind genau die Nullstellen mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung $f''([S])=v_{\mathrm {max} }\cdot K_{D}\cdot n_{H}\cdot [S]^{n_{H}-2}\cdot {K_{D}(n_{H}-1)-[S]^{n{_{H}}}(n_{H}+1) \over (K_{D}+[S]^{n_{H}})^{3}}=a([S])\cdot {b([S]) \over c([S])},\quad$ wobei für die Hilfsfunktionen $a([S]),b([S]),c([S])$ gilt: $a([S])=v_{\mathrm {max} }\cdot K_{D}\cdot n_{H}\cdot [S]^{n_{H}-2}>0\quad$ für $\quad [S]>0\quad$ nach (i) und (iii); $b([S])=K_{D}(n_{H}-1)-[S]^{n{_{H}}}(n_{H}+1)$ ; $c([S])=(K_{D}+[S]^{n_{H}})^{3}>0\quad$ für $\quad [S]>0\quad$ nach (iii). Da $f''([S])$ für $[S]<0$ nicht definiert ist, wechselt $f''([S])$ in $[S]=0$ nicht das Vorzeichen, und $f([S])$ hat bei $[S]=0$ keinen Wendepunkt. Außer $[S]>0$ gilt für alle Wendepunkte: $f''([S])=0\quad \Leftrightarrow \quad b([S])=0\quad \Leftrightarrow \quad [S]^{n_{H}}=K_{D}\cdot {n_{H}-1 \over n_{H}+1}=:D.\quad$ (iv) Mit (ii) hat Gleichung (iv) genau dann eine Lösung, wenn $D>0$ ist, und dann genau eine (d. h. ihre Lösung $[S]=[S]_{w}$ ist eindeutig, falls sie existiert). Mit $K_{D}>0$ ist $D<0$ für $n_{H}<1$ , sodass keine Lösung von (iv) existiert und $f([S])$ keinen Wendepunkt hat, wie behauptet. Mit $K_{D}>0$ ist $D>0$ für $n_{H}>1$ , sodass dann genau eine Lösung $[S]_{w}=D^{1 \over n_{H}}={\Big (}K_{D}\cdot {n_{H}-1 \over n_{H}+1}{\Big )}^{1 \over n_{H}}=K_{A}\cdot {\Big (}{n_{H}-1 \over n_{H}+1}{\Big )}^{1 \over n_{H}}$ von Gleichung (iv) existiert; $f([S])$ hat bei $[S]_{w}>0$ nach (ii) höchstens einen Wendepunkt. Zu zeigen bleibt, dass $f''([S])$ in $[S]=[S]_{w}$ das Vorzeichen wechselt. Da die Bestimmung der dritten Ableitung $f'''([S])$ recht aufwendig ist, wird hier das Verhalten von $f''([S])$ in einer Umgebung ihrer Nullstellen $[S]_{w}$ untersucht. Für beliebige $0<b,c\in \mathbb {R}$ sind Potenzfunktionen $b\rightarrow b^{c}$ streng monoton steigend. Also gilt für beliebige $\epsilon$ , für die $[S]_{w}>\epsilon >0$ ist: $([S]_{w}-\epsilon )^{n{_{H}}}<{[S]_{w}}^{n{_{H}}}\quad \mid \cdot (-(n_{H}+1))<0\quad$ (wegen $n_{H}>0>-1$ ) $-([S]_{w}-\epsilon )^{n{_{H}}}(n_{H}+1)>-{[S]_{w}}^{n{_{H}}}(n_{H}+1)\quad \mid +K_{D}(n_{H}-1)$ $b([S]_{w}-\epsilon )>b([S]_{w})=0\quad \mid \cdot a([S]_{w}-\epsilon )>0\quad \mid :c([S]_{w}-\epsilon )>0$ $f''([S]_{w}-\epsilon )>0$ . Für eine geeignete $\epsilon$ -Umgebung von $[S]_{w}$ ist also $f''([S])>0$ für alle $[S]\in U_{\epsilon }([S]_{w}),\quad [S]<[S]_{w}.\quad$ (v) Mit $[S]_{w}+\epsilon >0$ zeigen ausgehend von $([S]_{w}+\epsilon )^{n{_{H}}}>[S_{w}]^{n{_{H}}}$ die entsprechenden Umformungen, dass $f''([S])<0$ für alle $[S]\in U_{\epsilon }([S]_{w}),\quad S>[S]_{w}\quad$ ist. Letzteres zeigt zusammen mit (v) den Vorzeichenwechsel von $f''([S])$ in $[S]=[S]_{w}$ .