Formelsammlung Tensoranalysis – Wikipedia

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Formelsammlung Tensoralgebra

• Operatoren wie „${\displaystyle \mathrm {grad} }$“ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3\}}$
• Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in ${\displaystyle c=a_{i}b^{i}}$ wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
    ${\displaystyle c=a_{i}b^{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}}$.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in ${\displaystyle c=A_{ij}B_{j}^{i}}$ wird über diese summiert:
    ${\displaystyle c=A_{ij}B_{j}^{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{j}^{i}}$.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle v_{i}=A_{ij}b_{j}}$, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    ${\displaystyle v_{i}=A_{ij}b_{j}\quad \leftrightarrow \quad v_{i}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}b_{j}\quad \forall \;i\in \{1,2,3\}}$.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍={ℝ³,+,·}.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in ${\displaystyle {\vec {a}}}$ mit einem Pfeil versehen.
  • Standardbasis ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}}$
  • Beliebige Basis ${\displaystyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}}$ mit dualer Basis ${\displaystyle {\vec {b}}^{1},{\vec {b}}^{2},{\vec {b}}^{3}}$
  • Der Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}=x_{i}{\hat {e}}_{i}}$ wird durchgängig Ortsvektor genannt.
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1.
• Koordinaten:
  • #Kartesische Koordinaten ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} }$
  • #Zylinderkoordinaten: ${\displaystyle \rho ,\varphi ,z}$
  • #Kugelkoordinaten: ${\displaystyle r,\vartheta ,\varphi }$
  • Krummlinige Koordinaten ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R} }$
• Konstanten: ${\displaystyle c,{\vec {c}},\mathbf {C} }$
• Zeit t ∈ ℝ
• Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig ${\displaystyle {\vec {r}},{\vec {s}}\in \mathbb {V} ^{3}}$
• Feldfunktionen abhängig von ${\displaystyle {\vec {x}},t}$ oder ${\displaystyle {\vec {y}},t}$:
  • Skalar ${\displaystyle f,g\in \mathbb {R} }$ oder vektorwertig ${\displaystyle {\vec {f}},{\vec {g}}\in \mathbb {V} ^{3}}$
  • Tensorwertig: S, T
• Operatoren:
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Spur: Sp
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Transposition: T^⊤
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Inverse: T ^-1
  • Transponierte Inverse: T ^⊤-1
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Skalarprodukt von Tensoren :, von Vektoren ·
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor × oder von Vektoren untereinander
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Dyadisches Produkt ⊗
  • Äußeres Tensorprodukt ${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})}$
  • Vektorinvariante ${\displaystyle {\vec {\mathrm {i} }}({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}}$
• Differentialoperatoren:
  • #Nabla-Operator: 𝜵
  • #Gradient: grad
  • #Divergenz: div
  • #Rotation: rot
  • #Laplace-Operator: Δ
  • Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate:
    ${\displaystyle f_{,i}:={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,,\quad f_{i,jk}={\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\,,\quad f_{r,\vartheta }={\frac {\partial f_{r}}{\partial \vartheta }}}$
  • Zeitableitung mit Überpunkt: ${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}},{\dot {\vec {f}}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {f}}}{\mathrm {d} t}},{\dot {\mathbf {T} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {T} }$
• Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.
• Kontinuumsmechanik:
  • Verschiebung ${\displaystyle {\vec {u}}=u_{i}{\hat {e}}_{i}}$
  • Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}}$
  • Deformationsgradient ${\displaystyle \mathbf {F} }$
  • Räumlicher Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle \mathbf {l} }$
  • der Differentialoperator D/Dt und der Überpunkt steht für die substantielle Zeitableitung

${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{falls}}\ i=j\\0&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d. h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}}$

Kreuzprodukt:

${\displaystyle a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}$

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} }$

mit Basisvektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.

${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho ,\varphi }={\hat {e}}_{\varphi },\quad {\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=-{\hat {e}}_{\rho }\quad {\hat {e}}_{z,\varphi }={\vec {0}}}$

Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}\;\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{\rho /\varphi /z}={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho /\varphi /z}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\vartheta }={\begin{pmatrix}\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\-\sin(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}}$

Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos(\vartheta ){\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin(\vartheta ){\hat {e}}_{\vartheta }+{\dot {\vartheta }}{\hat {e}}_{\varphi }\\&\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{r/\vartheta /\varphi }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{r/\vartheta /\varphi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial y_{i}}},\quad {\vec {b}}^{i}=\operatorname {grad} (y_{i})={\frac {\partial y_{i}}{\partial {\vec {x}}}}\quad \rightarrow \quad {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle \,\mathrm {D} f(x)[h]:=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f(x+sh)\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f(x+sh)-f(x)}{s}}}$

mit ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f,x,h}$ skalar-, vektor- oder tensorwertig aber ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle h}$ gleichartig.

Produktregel:

${\displaystyle \mathrm {D} (f(x)\cdot g(x))[h]=\mathrm {D} f(x)[h]\cdot g(x)+f(x)\cdot \mathrm {D} g(x)[h]}$

Kettenregel:

${\displaystyle \mathrm {D} f{\big (}g(x){\big )}[h]=\mathrm {D} f(g)[Dg(x)[h]]}$

Existiert ein beschränkter linearer Operator ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, sodass

${\displaystyle {\mathcal {A}}[h]={Df}(x)[h]{\quad \forall \;}h}$

gilt, so wird ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle x}$ genannt. Man schreibt dann auch

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\mathcal {A}}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}\mathbf {T} ^{-1}{\dot {{\big )}\;}}=&-\mathbf {T} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {T} }}\cdot {\mathbf {T} }^{-1}=-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:{\dot {\mathbf {T} }}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{-1}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}\\{\big (}\mathbf {T} ^{\top -1}{\dot {{\big )}\;}}=&-\mathbf {T} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {T} }}^{\top }\cdot {\mathbf {T} }^{\top -1}=-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}:{\dot {\mathbf {T} }}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{\top -1}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}\end{aligned}}}$

siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe.

Allgemein mit n ∈ ℕ, >0, T⁰ := 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \mathbf {T} ^{n}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&\sum _{m=0}^{n-1}\mathbf {T} ^{m}\cdot \mathbf {H\cdot T} ^{n-m-1}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{n}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&\left(\sum _{m=0}^{n-1}\mathbf {T} ^{m}\otimes \left(\mathbf {T} ^{n-m-1}\right)^{\top }\right)^{\stackrel {23}{\top }}\end{aligned}}}$

#Gâteaux-Differential der Inversen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T\cdot T} ^{-1}=&\mathbf {1} \;\rightarrow \quad \overbrace {\mathrm {D} \mathbf {T} (\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]} ^{\mathbf {H} }\cdot \mathbf {T} ^{-1}+\mathbf {T} \cdot \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=\mathbf {0} \\\rightarrow \quad \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {T} ^{-1}=-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:\mathbf {H} \\\mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top -1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\mathbf {T} ^{\top -1}\cdot \mathbf {H} ^{\top }\cdot \mathbf {T} ^{\top -1}=-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}:\mathbf {H} \end{aligned}}}$

n ∈ ℕ, >0:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \mathbf {T} ^{-n}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&\sum _{m=1-n}^{0}\mathbf {T} ^{m}\cdot \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]\cdot \mathbf {T} ^{1-n-m}\\=&-\sum _{m=1-n}^{0}\mathbf {T} ^{m-1}\cdot \mathbf {H\cdot T} ^{-n-m}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{-n}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\sum _{m=1-n}^{0}\mathbf {T} ^{m-1}\otimes \left(\mathbf {T} ^{-n-m}\right)^{\top }\right)^{\stackrel {23}{\top }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top -n}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\sum _{m=1-n}^{0}\left(\mathbf {T} ^{m-1}\right)^{\top }\cdot \mathbf {H^{\top }\cdot {\big (}T} ^{-n-m}{\big )}^{\top }\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{\top -n}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\sum _{m=1-n}^{0}\left(\mathbf {T} ^{m-1}\right)^{\top }\otimes \left(\mathbf {T} ^{-n-m}\right)^{\top }\right)^{\stackrel {24}{\top }}\end{aligned}}}$

Orthogonaler Tensor (Q·Q^⊤=1):

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=-\mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$

#Kartesische Koordinaten ${\displaystyle {\vec {x}}}$ :${\displaystyle \nabla ={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

#Zylinderkoordinaten: ${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

#Kugelkoordinaten: ${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\vec {e}}_{\vartheta }{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$

#Krummlinige Koordinaten ${\displaystyle {\vec {y}}}$ :${\displaystyle \nabla ={\vec {b}}^{j}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}}$    mit    ${\displaystyle {\vec {b}}^{j}={\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}}$.

Definierende Eigenschaft bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:^[1]

${\displaystyle f({\vec {y}})-f({\vec {x}})=\operatorname {grad} (f)\cdot ({\vec {y}}-{\vec {x}})+{\mathcal {O}}(|{\vec {y}}-{\vec {x}}|)}$ wenn ${\displaystyle {\vec {y}}\to {\vec {x}}}$

Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig. Berechnung bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\to 0}{\frac {f({\vec {x}}+s{\vec {h}})-f({\vec {x}})}{s}}\quad \forall \;{\vec {h}}\in \mathbb {V} }$

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

${\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}\quad \rightarrow \quad \exists g\colon {\vec {f}}=\operatorname {grad} (g)}$.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit
• Oberfläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\lim _{v\to 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}\right)}$

Skalarfeld f:

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f=:{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}}$

Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}=f_{i}{\hat {e}}_{i}}$:^[2]

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}})=(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }=:{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {x}}}}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {x}})=\mathbf {1} }$

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=\mathrm {div} (f\mathbf {1} )=\nabla \cdot (f\mathbf {1} )}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)\times {\vec {c}}=\mathrm {rot} (f{\vec {c}})}$

#Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=f_{,i}{\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\otimes {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})=f_{i,j}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=f_{,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {f_{,\varphi }}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }+f_{,z}{\hat {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{\rho }\otimes \mathrm {grad} (f_{\rho })+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \mathrm {grad} (f_{\varphi })+{\hat {e}}_{z}\otimes \mathrm {grad} (f_{z})\\&+{\frac {1}{\rho }}(f_{\rho }{\hat {e}}_{\varphi }-f_{\varphi }{\hat {e}}_{\rho })\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=f_{,r}{\hat {e}}_{r}+{\frac {f_{,\vartheta }}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }+{\frac {f_{,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{r}\otimes \mathrm {grad} (f_{r})+{\hat {e}}_{\vartheta }\otimes \mathrm {grad} (f_{\vartheta })+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \mathrm {grad} (f_{\varphi })\\&+{\frac {f_{r}}{r}}(\mathbf {1} -{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{r})-{\hat {e}}_{r}\otimes {\frac {f_{\vartheta }{\hat {e}}_{\vartheta }+f_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }}{r}}+{\frac {f_{\vartheta }{\hat {e}}_{\varphi }-f_{\varphi }{\hat {e}}_{\vartheta }}{r\tan(\vartheta )}}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

#Krummlinige Koordinaten:

Christoffelsymbole: ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}^{k}}$

Vektorfelder:

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {g}}_{i})=\Gamma _{ij}^{k}{\vec {g}}_{k}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {g}}^{k})=-\Gamma _{ij}^{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f^{i}{\vec {g}}_{i})=\left.f^{i}\right|_{j}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f_{i}{\vec {g}}^{i})=\left.f_{i}\right|_{j}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

Mit den kovarianten Ableitungen

${\displaystyle \left.f^{i}\right|_{j}=f_{,j}^{i}+\Gamma _{kj}^{i}f^{k}}$

${\displaystyle \left.f_{i}\right|_{j}=f_{i,j}-\Gamma _{ij}^{k}f_{k}}$

Tensorfelder:

${\displaystyle \mathrm {grad} (\mathbf {T} )[{\vec {h}}]=({\vec {h}}\cdot {\vec {g}}^{k})\mathbf {T} _{,k}={\vec {h}}\cdot ({\vec {g}}^{k}\otimes \mathbf {T} _{,k})=(\mathbf {T} _{,k}\otimes {\vec {g}}^{k})\cdot {\vec {h}}}$

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

${\displaystyle \mathrm {grad} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,k}\otimes {\vec {g}}^{k}}$

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} (T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T_{ij}\right|_{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{ij}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{ij,k}-\Gamma _{ik}^{l}T_{lj}-\Gamma _{jk}^{l}T_{il}\\\mathrm {grad} (T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T^{ij}\right|_{k}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T^{ij}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{,k}^{ij}+\Gamma _{lk}^{i}T^{lj}+\Gamma _{lk}^{j}T^{il}\\\mathrm {grad} (T_{i}^{.j}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T_{i}^{.j}\right|_{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{i}^{.j}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{i,k}^{.j}-\Gamma _{ik}^{l}T_{l}^{.j}+\Gamma _{lk}^{j}T_{i}^{.l}\\\mathrm {grad} (T_{.j}^{i}){\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=&\left.T_{.j}^{i}\right|_{k}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{.j}^{i}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{.j,k}^{i}+\Gamma _{lk}^{i}T_{.j}^{l}-\Gamma _{jk}^{l}T_{.l}^{i}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\mathrm {grad} (fg)&=&(f_{,i}g+fg_{,i}){\hat {e}}_{i}&=&\mathrm {grad} (f)g+f\mathrm {grad} (g)\\\mathrm {grad} (f{\vec {g}})&=&(f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i})\otimes {\hat {e}}_{i}&=&{\vec {g}}\otimes \mathrm {grad} (f)+f\mathrm {grad} ({\vec {g}})\\\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {g}})&=&\left({\vec {f}}_{,i}\cdot {\vec {g}}+{\vec {f}}\cdot {\vec {g}}_{,i}\right){\hat {e}}_{i}&=&{\vec {g}}\cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})+{\vec {f}}\cdot \mathrm {grad} ({\vec {g}})\\\mathrm {grad} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})&=&\left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\otimes {\hat {e}}_{i}&=&{\vec {f}}\times \mathrm {grad} ({\vec {g}})-{\vec {g}}\times \mathrm {grad} ({\vec {f}})\end{array}}}$

In drei Dimensionen ist speziell^[3]

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {g}})=\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}+\mathrm {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}+{\vec {f}}\times \mathrm {rot} ({\vec {g}})+{\vec {g}}\times \mathrm {rot} ({\vec {f}})}$

Beliebige Basis:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f_{i}{\vec {b}}_{i})={\vec {b}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})+f_{i}\,\mathrm {grad} ({\vec {b}}_{i})}$

Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}}$ :

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=\nabla \cdot {\vec {f}}=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}}$

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {x}})=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {x}}){\big )}=\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )=3}$

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:^[1]

${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V} }$

→ ${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit
• Oberfläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=\lim _{v\to 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}{\vec {f}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\right)}$

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

${\displaystyle {\begin{array}{lcccl}\mathrm {div} ({\vec {f}})&=&\nabla \cdot {\vec {f}}&=&\mathrm {Sp(grad} ({\vec {f}}))\\\mathrm {div} (f\mathbf {1} )&=&\nabla \cdot (f\mathbf {1} )&=&\mathrm {grad} (f)\end{array}}}$

#Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=f_{i,i}}$

${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=T_{ij,j}{\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} ={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} _{,i}=T_{ij,i}{\hat {e}}_{j}=T_{ji,j}{\hat {e}}_{i}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho f_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}f_{\varphi ,\varphi }+f_{z,z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{\rho \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\rho \varphi ,\varphi }+T_{\rho \rho }-T_{\varphi \varphi })+T_{\rho z,z}\right){\hat {e}}_{\rho }\\&+\left(T_{\varphi \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\varphi \varphi ,\varphi }+T_{\rho \varphi }+T_{\varphi \rho })+T_{\varphi z,z}\right){\hat {e}}_{\varphi }\\&+\left(T_{z\rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{z\varphi ,\varphi }+T_{z\rho })+T_{zz,z}\right){\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}})=&f_{r,r}+{\frac {2f_{r}+f_{\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {f_{\vartheta }\cos(\vartheta )+f_{\varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\\\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{rr,r}+{\frac {2T_{rr}-T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi }+T_{r\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {T_{r\varphi ,\varphi }+T_{r\vartheta }\cos(\vartheta )}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{r}\\&\left(T_{\vartheta r,r}+{\frac {2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta }+T_{\vartheta \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi })\cos(\vartheta )+T_{\vartheta \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&\left(T_{\varphi r,r}+{\frac {2T_{\varphi r}+T_{r\varphi }+T_{\varphi \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \varphi }+T_{\varphi \vartheta })\cos(\vartheta )+T_{\varphi \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

${\displaystyle \mathrm {div} (f{\vec {g}})=\nabla \cdot (f{\vec {g}})=\left(f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}=\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {g}}+f\mathrm {div} ({\vec {g}})}$

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\nabla \cdot ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}={\vec {g}}\cdot \mathrm {rot} ({\vec {f}})-{\vec {f}}\cdot \mathrm {rot} ({\vec {g}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&\left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}+\mathrm {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}\\\mathrm {div} (f\mathbf {T} )=&(f_{,i}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathbf {T} \cdot \mathrm {grad} (f)+f\mathrm {div} (\mathbf {T} )\\\mathrm {div} (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&\left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {div} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} ^{\top }:\mathrm {grad} ({\vec {f}})\\\mathrm {div} ({\vec {f}}\times \mathbf {T} )=&({\vec {f}}_{,i}\times \mathbf {T} +{\vec {f}}\times \mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot \mathbf {T} ^{\top }\right)+{\vec {f}}\times \mathrm {div} (\mathbf {T} )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot \left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot {\vec {f}}){\vec {g}}+(\nabla \otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {f}}\\\nabla \cdot (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{i}\cdot (f_{,i}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,i})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\cdot \mathbf {T} +f\nabla \cdot \mathbf {T} \\\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot \left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} :(\nabla \otimes {\vec {f}})\\\nabla \cdot (\mathbf {T} \times {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot (\mathbf {T} _{,i}\times {\vec {f}}+\mathbf {T} \times {\vec {f}}_{,i})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}\left((\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }\cdot \mathbf {T} \right)\end{aligned}}}$

Beliebige Basis:

${\displaystyle \mathrm {div} (f_{i}{\vec {b}}_{i})=\nabla \cdot (f_{i}{\vec {b}}_{i})=\mathrm {grad} (f_{i})\cdot {\vec {b}}_{i}+f_{i}\,\mathrm {div} ({\vec {b}}_{i})}$

${\displaystyle \mathrm {div} (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})=(\mathrm {grad} (T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}_{i}+T^{ij}\,{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {b}}_{i})\cdot {\vec {b}}_{j}+\mathrm {div} ({\vec {b}}_{j}){\vec {b}}_{i}{\big )}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})={\big (}(\nabla T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}{\vec {b}}_{j}+T^{ij}\,{\big (}(\nabla \cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}_{j}+(\nabla {\vec {b}}_{j})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}}$

Produkt mit Konstanten:

${\displaystyle \mathrm {div} (f\mathbf {C} )=\mathbf {C} \cdot \mathrm {grad} (f)\quad \rightarrow \quad \mathrm {div} (f\mathbf {1} )=\mathrm {grad} (f)}$

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {C} )=\mathrm {grad} (f)\cdot \mathbf {C} \quad \rightarrow \quad \nabla \cdot (f\mathbf {1} )=\nabla f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {C} \cdot {\vec {f}})=\mathbf {C} ^{\top }:\mathrm {grad} ({\vec {f}})\quad \rightarrow \quad \mathrm {div} ({\vec {f}})=&\mathrm {div} (\mathbf {1} \cdot {\vec {f}})=\mathbf {1} :\mathrm {grad} ({\vec {f}})\\=&\mathrm {Sp} (\mathrm {grad} ({\vec {f}}))\end{aligned}}}$

Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}}$ :

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {f}})=\nabla \times {\vec {f}}}$

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:^[1]

${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {rot} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V} }$

→ ${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\nabla \times \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$

Allgemeine Identitäten:

${\displaystyle \mathbf {T=T} ^{\top }\quad \rightarrow \quad \mathrm {Sp{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}=\mathrm {Sp} (\nabla \times \mathbf {T} )=0}$

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {x}})={\vec {0}}}$

Integrabilitätsbedingung^[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=0\quad \rightarrow \quad \exists {\vec {g}}\colon {\vec {f}}=\mathrm {rot} ({\vec {g}})}$.

Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit
• Oberfläche