Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function ) r k ( n ) {\displaystyle r_{k}(n)} ist eine zahlentheoretische Funktion , die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl n {\displaystyle n} als Summe von k {\displaystyle k} Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.
Die ersten Werte von rk (Primzahlen mit hellblauen Hintergrund) n n r1 (n) r2 (n) r3 (n) r4 (n) r5 (n) r6 (n) r7 (n) r8 (n) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 14 16 2 2 0 4 12 24 40 60 84 112 3 3 0 0 8 32 80 160 280 448 4 22 2 4 6 24 90 252 574 1136 5 5 0 8 24 48 112 312 840 2016 6 2‧3 0 0 24 96 240 544 1288 3136 7 7 0 0 0 64 320 960 2368 5504 8 23 0 4 12 24 200 1020 3444 9328 9 32 2 4 30 104 250 876 3542 12112 10 2‧5 0 8 24 144 560 1560 4424 14112 11 11 0 0 24 96 560 2400 7560 21312 12 22 ‧3 0 0 8 96 400 2080 9240 31808 13 13 0 8 24 112 560 2040 8456 35168 14 2‧7 0 0 48 192 800 3264 11088 38528 15 3‧5 0 0 0 192 960 4160 16576 56448 16 24 2 4 6 24 730 4092 18494 74864 17 17 0 8 48 144 480 3480 17808 78624 18 2‧32 0 4 36 312 1240 4380 19740 84784 19 19 0 0 24 160 1520 7200 27720 109760 20 22 ‧5 0 8 24 144 752 6552 34440 143136
Die Funktion ist für alle n ∈ N ≥ 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}} und k ∈ N ≥ 1 {\displaystyle k\in \mathbb {N} _{\geq 1}} definiert als[ 1]
r k ( n ) := ∑ a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a k 2 = n ( a 1 , a 2 , … , a k ) ∈ Z k 1 = | { ( a 1 , a 2 , … , a k ) ∈ Z k ∣ a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a k 2 = n } | , {\displaystyle r_{k}(n):=\sum _{\begin{array}{c}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\\(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\end{array}}1={\big |}\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\right\}{\big |},} d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von n {\displaystyle n} als Summe von k {\displaystyle k} Quadraten ganzer Zahlen mit k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} .
Beispielsweise gilt
r k ( 0 ) = 1 {\displaystyle r_{k}(0)=1} für alle k {\displaystyle k} . Es ist
r 2 ( 1 ) = 4 {\displaystyle r_{2}(1)=4} , da 1 = 0 2 + ( ± 1 ) 2 = ( ± 1 ) 2 + 0 2 {\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}} mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch
r 2 ( 2 ) = 4 {\displaystyle r_{2}(2)=4} wegen 2 = ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 {\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}} mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist
r 2 ( 3 ) = 0 {\displaystyle r_{2}(3)=0} , weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.
Aus der Definition folgt sofort die Beziehung
r k + m ( n ) = ∑ t = 0 n r k ( t ) r m ( n − t ) , {\displaystyle r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^{n}r_{k}(t)\ r_{m}(n-t),} aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:
r k + 1 ( n ) = r k ( n ) + 2 ∑ t = 1 n r k ( n − t 2 ) . {\displaystyle r_{k+1}(n)=r_{k}(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt {n}}r_{k}(n-t^{2}).}
Es sei[ 2]
R k ( x ) := ∑ n = 0 x r k ( n ) = ∑ a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a k 2 ≤ x 1 {\displaystyle R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1} . Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer k {\displaystyle k} -dimensionalen Kugel mit dem Radius x {\displaystyle {\sqrt {x}}} und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten
R k ( x ) = V k x k 2 + O ( x k − 1 2 ) {\displaystyle R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})} , wobei O ( . ) {\displaystyle O(.)} das Landau-Symbol ist und die Konstanten V k {\displaystyle V_{k}} die Volumina der k {\displaystyle k} -dimensionalen Einheitskugeln sind:
V 2 = π , V 3 = 4 3 π , V 4 = 1 2 π 2 , … {\displaystyle V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\frac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\frac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dots } Die durchschnittliche Größenordnung von r k ( n ) {\displaystyle r_{k}(n)} ist damit k 2 V k x k 2 − 1 {\displaystyle {\tfrac {k}{2}}V_{k}x^{{\tfrac {k}{2}}-1}} , also z. B. π {\displaystyle \pi } die von r 2 ( x ) {\displaystyle r_{2}(x)} .
Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion ϑ ( z , q ) {\displaystyle \vartheta (z,q)} für den Spezialfall z = 0 {\displaystyle z=0} . Dafür gilt
ϑ 3 ( q ) := ϑ ( 0 , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 = 1 + 2 q + 2 q 4 + 2 q 9 + 2 q 16 + ⋯ {\displaystyle \vartheta _{3}(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\dotsb } Man erhält daraus
( ϑ 3 ( q ) ) k = ∑ n 1 , n 2 , … , n k q n 1 2 + n 2 2 + ⋯ + n k 2 = ∑ n = 0 ∞ q n ∑ n 1 2 + n 2 2 + ⋯ + n k 2 = n 1 = ∑ n = 0 ∞ q n r k ( n ) {\displaystyle (\vartheta _{3}(q))^{k}=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}q^{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}=n}1=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\ r_{k}(n)} . Werte und durchschnittliche Größenordnung von r2 (n) Werte und durchschnittliche Größenordnung von r4 (n) Werte und durchschnittliche Größenordnung von r8 (n) Einige spezielle Formeln sind z. B. (für n > 0 {\displaystyle n>0} ):
Für k = 2 {\displaystyle k=2} gilt:
r 2 ( n ) = 4 ∑ d ∣ n d ≡ 1 ( mod 2 ) ( − 1 ) ( d − 1 ) / 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}}(-1)^{(d-1)/2}} Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung n = 2 g p 1 f 1 p 2 f 2 ⋯ q 1 h 1 q 2 h 2 ⋯ {\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots } , wobei p i {\displaystyle p_{i}} die Primfaktoren der Form p i ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}} und q i {\displaystyle q_{i}} die Primfaktoren der Form q i ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}} sind, ergibt sich als weitere Formel
r 2 ( n ) = 4 ( f 1 + 1 ) ( f 2 + 1 ) ⋯ {\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots } , wenn alle Exponenten h 1 , h 2 , … {\displaystyle h_{1},h_{2},\dotsc } gerade sind. Ist mindestens ein h i {\displaystyle h_{i}} ungerade, dann ist r 2 ( n ) = 0 {\displaystyle r_{2}(n)=0} . Nach Definition ist r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm n {\displaystyle n} .
Für k = 3 {\displaystyle k=3} bewies Gauß eine Formel für quadratfreie Zahlen n > 4 {\displaystyle n>4}
r 3 ( n ) = { 24 h ( − n ) , wenn n ≡ 3 ( mod 8 ) , 0 wenn n ≡ 7 ( mod 8 ) , 12 h ( − 4 n ) sonst , {\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{wenn }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{wenn }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{sonst}},\end{cases}}} wobei h ( m ) {\displaystyle h(m)} die Klassenzahl einer ganzen Zahl m {\displaystyle m} bezeichnet.
Für beliebige n > 0 {\displaystyle n>0} gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz r 3 ( n ) = 0 {\displaystyle r_{3}(n)=0} genau dann, wenn n {\displaystyle n} sich in der Form n = 4 a ( 8 b + 7 ) , a ≥ 0 , b ≥ 0 {\displaystyle n=4^{a}(8b+7),a\geq 0,b\geq 0} darstellen lässt.[ 3]
Die Formel für k = 4 {\displaystyle k=4} stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert r 4 ( n ) {\displaystyle r_{4}(n)} als achtfache Summe aller Teiler von n , {\displaystyle n,} die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi ):
r 4 ( n ) = 8 ∑ d ∣ n ; 4 ∤ d d {\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d} r 4 ( n ) {\displaystyle r_{4}(n)} ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm n {\displaystyle n} .
Jacobi fand auch eine explizite Formel für k = 8 {\displaystyle k=8} :
r 8 ( n ) = 16 ∑ d ∣ n ( − 1 ) n + d d 3 {\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}}
Der Limes
K := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n r 2 ( k ) k − π log n ) {\displaystyle K:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)} existiert und wird (nach Wacław Sierpiński ) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl , die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:
K = π ( 2 γ + 4 log Γ ( 3 4 ) − log π ) {\displaystyle K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi )} ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 165 . ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 197 . ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 162 .