Équations de Stokes-Oseen — Wikipédia
En dynamique des fluides, les équations de Stokes-Oseen décrivent l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible pour un nombre de Reynolds faible. Cette formulation proposée par Carl Wilhelm Oseen en 1910[1] est une amélioration des équations de Stokes dans laquelle le terme inertiel est inclus de manière approchée[2],[3].
Le travail d'Oseen est basé sur les expériences de George Gabriel Stokes sur la chute d'une sphère dans un liquide visqueux. Il a développé un terme de correction permettant de résoudre le paradoxe de Stokes.
Equations d'Oseen
[modifier | modifier le code]Pour un objet se déplaçant à une vitesse faible dans un fluide immobile, l'écoulement est décrit dans un référentiel lié à l'objet par les équations suivantes[3] :
où
- u est la vitesse dans le système de référence,
- p la pression,
- ρ la masse volumique,
- μ la viscosité dynamique,
- ∇ est l'opérateur gradient, et
- ∇2 l'opérateur laplacien.
Les conditions aux limites sont les suivantes :
- à la surface de l'objet,
- et lorsque
où r est la distance au centre du référentiel accompagnant l'objet et la pression dans le milieu non perturbé par la présence de cet objet.
Solution pour une sphère
[modifier | modifier le code]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Stokes-Oseen_CA.png/220px-Stokes-Oseen_CA.png)
Comme dans le cas d'un écoulement de Stokes il est possible de calculer analytiquement la force exercée sur une sphère de rayon r[3],[4]:
où Re est le nombre de Reynolds basé sur le diamètre
En introduisant le coefficient de traînée
on obtient la relation très simple
Si l'expression due à Stokes sous-estime la traînée, cette expression a au contraire tendance à la surestimer si on la compare aux résultats d'essais[5] (voir courbe).
Références
[modifier | modifier le code]- (de) Carl Wilhelm Oseen, « Über die Stokes'sche formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik », Arkiv för matematik, astronomi och fysik, vol. vi, no 29,
- (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Fluid Mechanics, Oxford, Pergamon Press, , 539 p. (ISBN 0-08-033933-6, lire en ligne)
- (en) George K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge/New York, Cambridge University Press, , 615 p. (ISBN 0-521-66396-2)
- P. Chassaing, Mécanique des fluides : éléments d'un premier parcours, CEPADUES EDITIONS, , 450 p. (ISBN 978-2-85428-509-3)
- (en) F. W. Roos et W. W. Willmarth, « Some experimental results on sphere and disk drag », AIAA Journal, vol. 9, no 2, , p. 285-291