L’analyse géométrique, calcul géométrique, analyse multivectorielle, ou encore calcul multivectoriel[1], est une branche des mathématiques qui est aux structures d'algèbres géométriques ce que l'analyse vectorielle est aux espaces vectoriels. En substance, l'analyse géométrique considère des fonctions définies sur un espace vectoriel et à valeurs dans l'algèbre géométrique sous-tendue par cet espace, et s'intéresse aux limites exhibées par ces fonctions dans le cadre du calcul infinitésimal.
L'ensemble
des fonctions de
dans
n'est pas, a priori, une algèbre géométrique. Cependant il peut être doté d'une telle structure en plaquant, point par point, la structure algébrique de
, et en associant à tout élément de
un élément de
à valeur constante.
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}F+G&:&\mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} )+G(\mathbf {x} )\\\lambda F&:&\mathbf {x} \mapsto \lambda F(\mathbf {x} )\\FG&:&\mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} )G(\mathbf {x} )\\M_{\mathrm {cst} }&:&\mathbf {x} \mapsto M\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf8ff018083634c3629ee480021e50f3a54fda6)
Il est trivial de vérifier que
muni d'une telle structure constitue une algèbre géométrique. Il n'est par ailleurs pas difficile de se convaincre que l'opération
constitue une injection ainsi qu'un morphisme d'algèbres. Ce morphisme donne un sens à une expression telle que:
où
et
appartiennent à
tandis que
appartient à
.
De la même façon, tout opérateur qui agit sur
, c'est-à-dire qui transforme une fonction à valeurs multivectorielles en un autre fonction à valeurs multivectorielles, peut être incorporé à l'algèbre sus-mentionnée, et ce à l'aide d'un plaquage point par point similaire. Un tel plaquage sera utilisé pour étudier les propriétés algébriques des opérateurs définis dans cet article.
Étant donné une application
d'un espace vectoriel
vers son algèbre géométrique
, ainsi que deux vecteurs
et
de
, on appelle dérivée de
dans la direction
au point
, la limite, lorsqu'elle existe, du quotient
lorsque le scalaire
tend vers zéro. Cette limite est alors notée[2]
:
![{\displaystyle \partial _{\mathbf {b} }F(\mathbf {a} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(\mathbf {a} +\epsilon \mathbf {b} )-F(\mathbf {a} )}{\epsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d30d4d15d18160f8f4a602fb1732d593f6bc39)
L'opérateur
, dit de dérivation selon la direction
, est noté
.
Dans une base
, l'opérateur de dérivation selon la direction
est noté
.
![{\displaystyle \partial _{\mathbf {a} +\mathbf {b} }=\partial _{\mathbf {a} }+\partial _{\mathbf {b} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f820e5af9ef0460cbabef2df199c58c90f240743)
![{\displaystyle \partial _{\lambda \mathbf {a} }=\lambda \partial _{\mathbf {a} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f992309ee6d926e878dc6ec66f0265404445e6d)
![{\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(F+G)=\partial _{\mathbf {a} }F+\partial _{\mathbf {a} }G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce70c6ccb0c4ba284e7fb1790ecb2b556dc2e673)
(règle du produit)
(invariance de grade)
(covariance).
(règle dite d'enchainement scalaire, où
et
) ![{\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} )=\mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2a8e0b34d5e4e05bfdbe4ecc3427066d4e3eb0)
, (où
est un multivecteur constant) ![{\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto |\mathbf {x} |)=(\mathbf {x} \mapsto {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb71d8a9613c73b6212358560f5d44780de0449)
![{\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto {\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}})=(\mathbf {x} \mapsto {\frac {(\mathbf {a} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )\mathbf {x} ^{-1})}{|\mathbf {x} |}}={\frac {\mathbf {x} ^{-1}(\mathbf {x} \wedge \mathbf {a} )}{|\mathbf {x} |}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7e05317e8ac2dfaef3a3a591822db8093a336e)
(développement de Taylor)
Une fonction
est dite continuellement différentiable en un point
lorsque pour tout vecteur
, la dérivée de
selon la direction
existe en tout point
d'un voisinage de
, et forme une fonction continue de
dans ce voisinage.
Si
est effectivement continuellement différentiable en
, alors l'application
est une application linéaire appelée différentielle, ou première différentielle, de
. Cette application est notée en soulignant
ou en l'indexant par
de telle sorte qu'on a:
![{\displaystyle {\underline {F}}(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )=F_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\partial _{\mathbf {a} }F(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3da6b75be511c7a3a3ca7fe7688f0b0f55028c2)
ou encore, lorsque le point fixe
est sous-entendu:
![{\displaystyle {\underline {F}}(\mathbf {a} )=F_{\mathbf {a} }=\partial _{\mathbf {a} }F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79543ba44edd009aae9bd57b825a8104561e50c)
![{\displaystyle {\underline {F}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )={\underline {F}}(\mathbf {a} )+{\underline {F}}(\mathbf {b} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbedf2c420ecfc7c400ad8bfbdb85a251e46c0aa)
- Pour
suffisamment petit, ![{\displaystyle F(\mathbf {x} )-F(\mathbf {x_{0}} )\approx {\underline {F}}(\mathbf {x} )-{\underline {F}}(\mathbf {x_{0}} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1760e3aa6c077066f5e949522f486f44b2f8d62a)
![{\displaystyle {\frac {dF}{dt}}(\mathbf {x} (t))={\underline {F}}({\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}},\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d543430119b9492a9b83a88d974fbe3e46d3737)
Il existe plusieurs manières de définir la dérivée vectorielle[3], et avec elle l'opérateur de dérivation vectorielle. Chacune présente des avantages et des inconvénients. Dans cette section les principales méthodes de définition sont présentées et sont assumées équivalentes. Dans tous les cas, la dérivée vectorielle d'une fonction est l'application de l' opérateur de dérivation vectorielle sur cette fonction, ou inversement, selon que ce qui est défini tout d'abord est la dérivée vectorielle ou l'opérateur de dérivation vectorielle.
Théorème et définition — Pour toute base
de base duale
, l'expression
ne dépend pas de la base choisie.
Cette expression, notée
, est alors appelée opérateur de dérivation vectorielle:
![{\displaystyle \partial =\sum _{j}\mathbf {e} ^{j}\partial _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e594d728ab22768caa8a54d996cd2d651ec908)
qui peut aussi être écrit, avec la convention de sommation d'Einstein:
![{\displaystyle \partial =\mathbf {e} ^{j}\partial _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695f6a73cde91455a890e04a4594c25fd4f152ca)
Démonstration
Il suffit d'observer que
est un produit contracté.
Théorème — L'opérateur de dérivation vectorielle se comporte algébriquement comme un vecteur.
![{\displaystyle \partial \wedge I=I\wedge \partial =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bc91fad4bad96015b5d906343800129b8342e5)
Démonstration
Il s'agit essentiellement d'une conséquence du comportement algébrique de l'opérateur de dérivation directionnelle.
![{\displaystyle \partial \wedge I=e^{i}\partial _{i}\wedge I=\partial _{i}e^{i}\wedge I=\partial _{i}(e^{i}\cdot e^{j})e_{j}\wedge I=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e0801bf4a1765c2a15cf25e49afeb9ea551fe)
Théorème — L'opérateur de dérivation directionnelle est le produit intérieur de sa direction par l'opérateur de dérivation vectorielle.
![{\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \cdot \partial }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf99805a94dd0b5ba0d0835b0e1a0a6233d4954)
Démonstration
Il suffit essentiellement de remarquer que
s'écrit, dans une base
:
![{\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c846d47415b1bc1a3838678737c254a48dc9a9)
Il vient alors:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mathbf {a} }&=\partial _{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}}\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}\partial _{\mathbf {e} _{i}}\\&=\mathbf {a} \cdot \partial \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb508915b1344932ac6c611b9d4f1e75596acaf)
∎
- ↑ Le manque de sources francophones, ainsi que l'existence de plusieurs termes même parmi les sources anglo-saxonnes, fait qu'il est difficile de choisir une expression unique pour nommer cette discipline. calcul géométrique est une traduction plus littérale pour l'expression anglaise geometric calculus, tandis que analyse géométrique a le mérite de mettre en évidence l'analogie avec l'analyse vectorielle.
- ↑ D'autres notations existent, notamment:
- ↑ Certaines sources semblent utiliser simplement le terme gradient, mettant en évidence l'analogie avec le gradient en analyse vectorielle. Dans Multivector calculus par exemple, Hestenes n'utilise pas une seule fois l'expression vector derivative.