Barocline — Wikipédia

D'après la loi des gaz parfaits, la pression ${\displaystyle p}$ s'exprime

${\displaystyle p=\rho (c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}})T}$

où ${\displaystyle T}$ est la température absolue, ${\displaystyle c_{\rm {{}p}}}$ est la capacité spécifique à pression constante et ${\displaystyle c_{\rm {{}v}}}$ est la capacité spécifique à volume constant.

Donc, à pression constante, ${\displaystyle \rho }$ est proportionnel à ${\displaystyle 1/T}$. On a : ${\displaystyle \rho ={p \over (c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}})T}}$. Donc,

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\rho ={\partial {\rho } \over \partial {\vec {x}}}={1 \over T(c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}p}})}{\partial p \over \partial {\vec {x}}}-{p \over c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}}}{1 \over T^{2}}{\partial T \over \partial {\vec {x}}}}$

Donc,

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\rho \wedge {\vec {\nabla }}p=\left({1 \over T(c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}})}{\partial p \over \partial {\vec {x}}}-{p \over c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}}}{1 \over T^{2}}{\partial T \over \partial {\vec {x}}}\right)\wedge {\vec {\nabla }}p}$

On obtient donc :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\rho \wedge {\vec {\nabla }}p={\vec {0}}-\left({p \over c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}}}{1 \over T^{2}}{\partial T \over \partial {\vec {x}}}\right)\wedge {\vec {\nabla }}p}$

On obtient donc la formule rigoureuse suivante :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\rho \wedge {\vec {\nabla }}p=-{p \over T^{2}(c_{\rm {{}p}}-c_{\rm {{}v}})}{\vec {\nabla }}T\wedge {\vec {\nabla }}p}$

Comme la température absolue varie peu, en première approximation, le vecteur baroclinique est donc proportionnel à ${\displaystyle {\vec {\nabla }}p\wedge {\vec {\nabla }}T}$.