Cercles de Villarceau — Wikipédia

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien français Yvon Villarceau (1813–1883).

Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau.

Dans un tore de centre O, d'axe Oz et de paramètres R et r, les plans bitangents au tore ont pour équation : r cosθ x + r sinθ y + ε√R² – r² z = 0 où ε peut valoir +1 ou –1 et où θ est un réel quelconque.

Un tel plan coupe le tore en deux cercles de rayon R et de centres de coordonnées (–r sinθ , r cosθ , 0) et (r sinθ , –r cosθ, 0).

Ces résultats s'obtiennent en travaillant d'abord pour des plans contenant l'axe des y dont les équations sont rx + ε√R² – r² z = 0 qui coupent le tore en des cercles de rayon R et de centres de coordonnées (0 , r , 0) et (0, –r, 0)^[1], puis en utilisant les propriétés d'invariance par rotation du tore pour les autres cercles de Villarceau.

Prenons un tore de paramètres R = 5 et r = 3 et d'axe Oz :

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!}$

En sectionnant par le plan d'équation z = 0, on obtient deux cercles concentriques, d'équations x²+y² = 2² et x²+y² = 8².

En sectionnant par le plan d'équation x = 0, on obtient deux cercles côte à côte, d'équations (y−5)²+z² = 3² et (y+5)²+z² = 3².

Deux cercles de Villarceau peuvent être obtenus en sectionnant par le plan d'équation 3x = 4z. Le premier est centré en (0, +3, 0), le second en (0, −3, 0) - les deux ont 5 pour rayon. On peut en donner les paramétrages suivants :

${\displaystyle (x,y,z)=(4\cos \theta ,+3+5\sin \theta ,3\cos \theta )\,\!}$

${\displaystyle (x,y,z)=(4\cos \theta ,-3+5\sin \theta ,3\cos \theta ).\,\!}$

Le plan est choisi pour être tangent au tore tout en passant par son centre. Ici, il est tangent en (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) et en (−¹⁶⁄₅, 0, −¹²⁄₅). L'angle de découpe est unique, déterminé par les paramètres du tore.

Le tore joue un rôle important dans la fibration de Hopf. La sphère S³ est vue comme un espace fibré, de base la sphère traditionnelle S², et avec les cercles usuels S¹ pour fibres. Par projection stéréographique on peut représenter cette figure dans un espace euclidien de dimension 3, à l'exception d'un point qui est envoyé à l'infini (le cercle de S³ correspondant devient un axe de R³). On considère un parallèle de la sphère S² ; son image réciproque (dans R³) par la projection de Hopf est un tore. Les fibres en sont des cercles de Villarceau.

Thomas Banchoff^[2] a pu analyser un tel tore à l'aide d'imagerie informatique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Villarceau circles » (voir la liste des auteurs).

• (en) Marcel Berger, Geometry II, Springer, 1987 (ISBN 978-3-540-17015-0), § 18.9: Villarceau circles and parataxy, p. 304-305
• (en) H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]
• (en) Anton Hirsch, « Extension of the ‘Villarceau-Section’ to Surfaces of Revolution with a Generating Conic », dans Journal for Geometry and Graphics, vol. 6, Lemgo, Heldermann Verlag, 2002 [lire en ligne]
• (en) Hellmuth Stachel (en), « Remarks on A. Hirsch's Paper concerning Villarceau Sections », dans Journal for Geometry and Graphics, vol.6, Heldermann Verlag, 2002
• Yvon Villarceau, « Théorème sur le tore », Nouvelles Annales de Mathématiques, Paris, Gauthier-Villars, 1^re série, vol. 7,‎ 1848, p. 345–347

• Une construction des cercles de Villarceau par rotation des plans de coupe
• Une démonstration utilisant les outils de la géométrie projective
• Le texte de Villarceau (1848) analysé sur le site bibnum
• (en) Eric W. Weisstein, « Torus », sur MathWorld
• (en) Flat Torus in the Three-Sphere

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