Fibration de Hopf — Wikipédia

En géométrie la fibration de Hopf donne une partition de la sphère à 3-dimensions S³ par des grands cercles. Plus précisément, elle définit une structure fibrée sur S³. L'espace de base est la sphère à 2-dimensions S², la fibre modèle est un cercle S¹. Ceci signifie notamment qu'il existe une application p de projection de S³ sur S², telle que les images réciproques de chaque point de S² soient des cercles.

Cette structure a été découverte par Heinz Hopf en 1931. Cette fibration peut aussi être interprétée comme un fibré principal${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}\,}$, dont le groupe structural est le groupe S¹ des complexes de module 1.

La sphère S³ peut être identifiée à l'ensemble des éléments (z₀, z₁) de ℂ² qui vérifient |z₀|² + |z₁|² = 1. On fait agir sur ce sous-espace le groupe des complexes de module 1, par la formule

${\displaystyle \lambda \cdot (z_{0},z_{1})=(\lambda z_{0},\lambda z_{1}).}$

Les orbites sous cette action de groupe sont clairement des cercles. L'espace quotient est l'espace projectif complexe ℂP¹, qui s'identifie à S² (la sphère de Riemann).

Pour construire une application de projection adaptée à ces notations, on peut introduire l'application de Hopf

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(|z_{0}|^{2}-|z_{1}|^{2},2z_{0}z_{1}^{*}),}$

le premier élément du couple étant réel et le second complexe, on peut voir le résultat comme un point de ℝ³. Si en outre |z₀|² + |z₁|² = 1, alors p(z₀, z₁) appartient à la sphère unité. Enfin, on observe que p(z₀, z₁) = p(z₂, z₃) si et seulement s'il existe λ de module 1 tel que (z₂, z₃) = (λz₀, λz₁).

La représentation ci-contre donne une idée de la disposition des fibres-cercles. On peut représenter la sphère S³ privée d'un point par projection stéréographique comme étant l'espace usuel de dimension 3. Le point de S³ que l'on a supprimé se retrouve à l'infini. Il convient d'ajouter aux cercles représentés d'autres cercles continuant à remplir l'espace et un axe perpendiculaire au plan de l'image, qui est le cercle passant par le point à l'infini. Plus précisément, étant donné un parallèle de la sphère S², son image réciproque (dans ℝ³) par la projection de Hopf est un tore, et les fibres en sont des cercles de Villarceau.

Par le même procédé, toute sphère de dimension impaire S²ⁿ⁺¹ apparaît comme un espace fibré sur l'espace projectif ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$, avec pour fibres des cercles. Il s'agit en fait d'une restriction du fibré en droites tautologique (en) sur ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ : chaque fibre de ce dernier est une droite complexe, qu'on restreint en un cercle.

Une illustration de la fibration se trouve dans le chapitre 7 de la série Dimensions.

• Cercles de Villarceau
• 3-sphère

• Vidéo et texte expliquant la fibration de Hopf extraits de la série Dimensions.

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