Formule de Brahmagupta — Wikipédia

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, portant le nom du mathématicien indien du VII^e siècle Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

où ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\,}$ est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire ^[1].

Elle représente un cas particulier de la formule de Bretschneider donnant l'aire d'un quadrilatère non forcément inscriptible, concave ou convexe mais non croisé.

En suivant les notations de la figure, l'aire S du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles (ADB) et (BDC) :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {A}}+{\frac {1}{2}}cd\sin {\widehat {C}}}$

mais comme (ABCD) est inscriptible, les angles en A et C sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin {\widehat {A}}}$

d'où en élevant au carré :

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}{\widehat {A}}(ab+cd)^{2}\,}$

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles (ADB) et (BDC) et en égalant les expressions du côté commun DB, on obtient :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\widehat {A}}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\widehat {C}}\,}$

ce qui s'écrit puisque les angles en A et C sont supplémentaires :

${\displaystyle 2\cos {\widehat {A}}(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.\,}$

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\\&=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\\&=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\end{aligned}}}$

En introduisant ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$, on obtient :

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,}$

d'où

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

• Le carré correspond au cas ${\displaystyle b=c=d=a,\quad p=2a}$ et ${\displaystyle S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,}$
• Le rectangle correspond au cas ${\displaystyle a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)}$ et ${\displaystyle S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,}$
• Le triangle correspond au cas ${\displaystyle d=0\quad }$ : on retrouve alors la formule de Héron.

Dans le cas d'un quadrilatère inscriptible croisé, l'aire algébrique ${\displaystyle S}$, différence des aires des triangles (ADB) et (BDC), est donnée au signe près par : ${\displaystyle 4S^{2}=(ab-cd)^{2}\sin ^{2}{\widehat {A}}}$, qui conduit de la même façon que ci-dessus à :

${\displaystyle 16S^{2}=4(ab-cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}=-(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}$,

ce qui revient à changer l'une des 4 lettres ${\displaystyle a,b,c,d}$ en son opposé dans la formule de Brahmagupta. On a aussi :

${\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd}$^[2].

On retrouve par exemple que l'aire est nulle pour un antiparallélogramme (${\displaystyle a=c,b=d}$).

En utilisant les fonctions symétriques élémentaires ${\displaystyle \sigma _{i}}$ de ${\displaystyle a^{2},b^{2},c^{2},d^{2}}$, la formule de Brahmagupta pour un quadrilatère inscriptible convexe s'écrit ${\displaystyle 16S^{2}=8abcd+2\sigma _{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=8abcd+4\sigma _{2}-\sigma _{1}^{2}}$, et pour un quadrilatère inscriptible croisé, ${\displaystyle 16S^{2}=-8abcd+4\sigma _{2}-\sigma _{1}^{2}}$, d'où la relation valable pour un quadrilatère inscriptible quelconque : ${\displaystyle (16S^{2}-4\sigma _{2}+\sigma _{1}^{2})^{2}=64\sigma _{4}}$.

David Robbins a démontré que plus généralement, l'aire ${\displaystyle S}$ d'un polygone inscriptible de côtés de longueurs ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ vérifie une relation du type ${\displaystyle P(16S^{2},a_{1}^{2},a_{2}^{2},\cdots ,a_{n}^{2})=0}$ où ${\displaystyle P}$ est un polynôme à coefficients entiers symétrique en ses ${\displaystyle n}$ dernières variables^[2],[3].

Dans le cas ${\displaystyle n=5}$, cette relation a permis de déterminer les propriétés des pentagones de Robbins, pentagones à longueurs de côtés et aire rationnelles.

• Formule de Bretschneider

• Théorème de Brahmagupta (autre propriété du quadrilatère inscriptible)
• Identité de Brahmagupta (en arithmétique)

• (en) Eric W. Weisstein, « Brahmagupta's Formula », sur MathWorld

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