Équation différentielle — Wikipédia

Ne doit pas être confondu avec Équation aux différences.

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En mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle.

Une équation différentielle permet de modéliser des situations très diverses dans lesquelles la vitesse de variation d'une quantité a une relation déterminée à cette quantité, par exemple lui est proportionnelle. En physique on peut notamment grâce aux équations différentielles modéliser le nombre de noyaux instables à un instant précis grâce à la loi de décroissance radioactive ou encore modéliser l'évolution de la température d'un système incompressible en fonction du temps avec la loi de refroidissement de Newton en thermodynamique.

Les équations différentielles ont une histoire mondiale, et leur utilisation s'est étendue à tous les continents pour modéliser et comprendre une grande variété de phénomènes dynamiques dans les domaines scientifiques et techniques. Les avancées modernes, notamment l'utilisation d'outils informatiques pour résoudre numériquement des équations complexes, continuent d'élargir leur portée et leur application.

Des modélisations mathématiques étaient déjà en cours de développement à l'époque de la Renaissance. Et l'utilisation explicite des équations différentielles formelles a émergé avec le développement du calcul différentiel et intégral au XVIIe siècle, principalement avec les travaux de Newton et de Leibniz^[1].

À l'époque moderne, les équations différentielles ont joué un rôle central dans la modélisation et la compréhension des phénomènes dynamiques dans un large éventail de disciplines scientifiques et techniques. Les développements de ces domaines ont été rendu possibles par l'utilisation et la résolution de divers types d'équations différentielles^[2].

On distingue généralement deux types d'équations différentielles :

• les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues recherchées ne dépendent que d'une seule variable ;
• les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.

Sans plus de précision, le terme équation différentielle fait le plus souvent référence aux équations différentielles ordinaires.

Et il y a l'équation différentielle raide dont la sensibilité aux paramètres va rendre difficile la résolution par des méthodes numériques explicites.

On rencontre également d'autres types d'équations différentielles (liste non exhaustive) :

• les équations intégro-différentielles qui font intervenir les dérivées de fonction(s) et ses/leurs intégrale(s) ou « primitives » ;
• les équations différentielles holomorphes (EDH) où la ou les fonctions inconnues dépendent d'une seule variable complexe ;
• les équations différentielles stochastiques (EDS) où un ou plusieurs termes de l'équation différentielle sont des processus stochastiques ;
• les équations différentielles abstraites (en) (EDA) où les fonctions inconnues et leurs dérivées prennent leurs valeurs dans des espaces fonctionnels abstraits (espace de Hilbert, espace de Banach, etc.) ;
• les équations différentielles à retard (EDR) dans lesquelles la dérivée de la fonction inconnue à un moment donné est exprimée selon les valeurs de la fonction aux temps précédents.

La théorie de Galois différentielle étudie les équations différentielles à l'aide de méthodes algébriques.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Parcours des équations différentielles » (voir la liste des auteurs).

• (en) Carl B. Boyer, The Concepts of the Calculus: A Critical and Historical Discussion of the Derivative and the Integral, Hafner Publishing Company, 1949 ; republication : (en) Carl B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1959 (lire en ligne).

• (en) Dirk Jan Struik (ed.), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Cambridge, MA, Harvard University Press, 1969 (lire en ligne), p. 238-243; 271-281.

• (en) Florian Cajori, « The History of Notations of the Calculus », Annals of Mathematics, vol. 25, n^o 1,‎ 1923, p. 1-46 (lire en ligne).

• Équation différentielle linéaire
• Équation différentielle linéaire d'ordre un
• Équation différentielle linéaire d'ordre deux

• (en) Eric W. Weisstein, « Differential Equation », sur MathWorld
• (fr) Quelques situations modélisables par des équations différentielles, sur l'Université des sciences en ligne

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