In matematica la definizione di derivata trova l'ambientazione più naturale nel campo complesso ,[ 1] dove l'operazione di derivazione viene detta derivazione complessa .
La derivata di una funzione di variabile complessa è definita grazie all'esistenza di una struttura di campo topologico sui numeri complessi . I risultati che si possono ottenere con la definizione di derivata nel campo C {\displaystyle \mathbb {C} } sono più interessanti rispetto al caso di R {\displaystyle \mathbb {R} } (dove si ha la definizione più semplice di derivazione): si vedano ad esempio la formula integrale di Cauchy e il teorema di Liouville .
Detto U {\displaystyle U} un sottoinsieme aperto del piano complesso C {\displaystyle \mathbb {C} } , una funzione complessa f : U → C {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } è derivabile in senso complesso in un punto z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} se esiste il limite :[ 2]
f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}} Tale limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a z 0 {\displaystyle z_{0}} il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con f ′ ( z 0 ) {\displaystyle f'(z_{0})} . Se f {\displaystyle f} è derivabile in senso complesso in ogni punto z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} essa è una funzione olomorfa su U {\displaystyle U} .
Chiamando Δ f = f ( z + Δ z ) − f ( z ) {\displaystyle \Delta f=f(z+\Delta z)-f(z)} l'incremento della funzione f {\displaystyle f} corrispondente all'incremento della variabile indipendente Δ z {\displaystyle \Delta z} si ha:
f ′ ( z 0 ) = lim Δ z → 0 Δ f Δ z = d f d z {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!z}}} Vale il teorema secondo cui l'esistenza della derivata di una funzione in un punto implica la continuità della funzione in quel punto, ma non è vero il contrario.
Una funzione f ( z ) {\displaystyle f(z)} è differenziabile in z 0 {\displaystyle z_{0}} se è derivabile e:
lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) − f ′ ( z 0 ) Δ z Δ z = 0 {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})-f'(z_{0})\Delta z}{\Delta z}}=0} La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:
f ( z ) ≡ f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)} è olomorfa allora u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} possiedono derivata parziale prima rispetto a x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann :[ 3]
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,} In modo equivalente, la derivata di Wirtinger ∂ f / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial f/\partial {\overline {z}}} di f {\displaystyle f} rispetto al complesso coniugato z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} di z {\displaystyle z} è nulla.
Sfruttando la definizione si dimostra che valgono tutte le regole di derivazione che caratterizzano la derivata di funzioni reali. Innanzitutto:
d c d z = 0 d z d z = 1 d z n d z = n ⋅ z n − 1 {\displaystyle {\frac {dc}{dz}}=0\qquad {\frac {dz}{dz}}=1\qquad {\frac {dz^{n}}{dz}}=n\cdot z^{n-1}} Inoltre, la derivata complessa è lineare:
d ( c ⋅ f ( z ) ) d z = c ⋅ f ′ ( z ) d ( f ( z ) + g ( z ) ) d z = f ′ ( z ) + g ′ ( z ) {\displaystyle {\frac {d\left(c\cdot f(z)\right)}{dz}}=c\cdot f'(z)\qquad {\frac {d\left(f(z)+g(z)\right)}{dz}}=f'(z)+g'(z)} e valgono la regola del prodotto :
d ( f ( z ) ⋅ g ( z ) ) d z = f ( z ) ⋅ g ′ ( z ) + f ′ ( z ) ⋅ g ( z ) {\displaystyle {\frac {d\left(f(z)\cdot g(z)\right)}{dz}}=f(z)\cdot g'(z)+f'(z)\cdot g(z)} e del rapporto:
d d z ⋅ ( f ( z ) g ( z ) ) = f ′ ( z ) ⋅ g ( z ) − f ( z ) ⋅ g ′ ( z ) ( g ( z ) ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\cdot \left({\frac {f(z)}{g(z)}}\right)={\frac {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{(g(z))^{2}}}} Se inoltre h ( z ) = g ( f ( z ) ) {\displaystyle h(z)=g\left(f(z)\right)} , si ha la regola della catena :
h ′ ( z 0 ) = g ′ ( f ( z 0 ) ) ⋅ f ′ ( z 0 ) {\displaystyle h'(z_{0})=g'\left(f(z_{0})\right)\cdot f'(z_{0})} Le funzioni olomorfe definite su un aperto sono funzioni analitiche o regolari . Si tratta quindi di funzioni complesse definite in un insieme aperto A {\displaystyle A} per le quali esiste la derivata, continua, in ogni punto di questo insieme e le derivate parziali soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann.
Supposto che esista la derivata di una funzione nel punto z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}} allora le derivate parziali del primo ordine di f ( z 0 ) = u ( x 0 , y 0 ) + i ⋅ v ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle f(z_{0})=u(x_{0},y_{0})+i\cdot v(x_{0},y_{0})} esistono, sono differenziabili e verificano le equazioni di Cauchy-Riemann.
Per dimostrare che esistono le derivate parziali della funzione, e che la parte reale ed immaginaria convergono rispettivamente alla parte reale ed immaginaria del limite (e che soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann), si sviluppa la definizione di derivata di una funzione complessa nella sua parte reale ed immaginaria nell'intorno del punto z 0 = ( x 0 + i y 0 ) {\displaystyle z_{0}=(x_{0}+iy_{0})} , da cui otterremo le due relazioni fondamentali note come equazioni di Cauchy-Riemann:
f ′ ( z 0 ) = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}} dove il rapporto si può scrivere:
f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = u ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − u ( x 0 , y 0 ) Δ x + i Δ y + i ⋅ v ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − v ( x 0 , y 0 ) Δ x + i Δ y {\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x+i\Delta y}}+i\cdot {\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x+i\Delta y}}} Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo orizzontalmente come ( Δ x , 0 ) → ( 0 , 0 ) {\displaystyle (\Delta x,0)\to (0,0)} , si ottiene:
lim Δ x → 0 u ( x 0 + Δ x , y 0 ) − u ( x 0 , y 0 ) Δ x + i ⋅ lim Δ x → 0 v ( x 0 + Δ x , y 0 ) − v ( x 0 , y 0 ) Δ x = {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=} = ∂ u ( x 0 , y 0 ) ∂ x + i ⋅ ∂ v ( x 0 , y 0 ) ∂ x = u x ( x 0 , y 0 ) + i ⋅ v x ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle ={\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial x}}+i\cdot {\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial x}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+i\cdot v_{x}(x_{0},y_{0})} Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo verticalmente come ( 0 , Δ y ) → ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,\Delta y)\to (0,0)} , si ottiene:
lim Δ y → 0 u ( x 0 , y 0 + Δ y ) − u ( x 0 , y 0 ) i Δ y + i ⋅ lim Δ y → 0 v ( x 0 , y 0 + Δ y ) − v ( x 0 , y 0 ) i Δ y = {\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {u(x_{0},y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\cdot \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {v(x_{0},y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=} = − i ⋅ ∂ u ( x 0 , y 0 ) ∂ y + ∂ v ( x 0 , y 0 ) ∂ y = − i ⋅ u y ( x 0 , y 0 ) + v y ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle =-i\cdot {\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial y}}+{\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=-i\cdot u_{y}(x_{0},y_{0})+v_{y}(x_{0},y_{0})} In questo modo si vede che uguagliando parti reali e parti immaginarie dalle equazioni precedenti, cosa permessaci dall'ipotesi di olomorfia sulla funzione, si ottengono le equazioni di Cauchy-Riemann:
{ u x ( x 0 , y 0 ) = v y ( x 0 , y 0 ) u y ( x 0 , y 0 ) = − v x ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}u_{x}(x_{0},y_{0})=v_{y}(x_{0},y_{0})\\u_{y}(x_{0},y_{0})=-v_{x}(x_{0},y_{0})\end{cases}}} Resta da dimostrare che u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} sono differenziabili. Dalla definizione di differenziabilità della funzione:
lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) − f ′ ( z 0 ) Δ z Δ z = 0 {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})-f'(z_{0})\Delta z}{\Delta z}}=0} Questo limite afferma che per:
| Δ z | = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 → 0 {\displaystyle |\Delta z|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\to 0} la differenza a numeratore tende a zero. Sviluppando in parte reale ed immaginaria questo equivale:
lim Δ z → 0 | Δ u + i Δ v | | Δ z | = {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta u+i\Delta v|}{|\Delta z|}}=} = lim ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) u ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − u ( x 0 , y 0 ) − u x ( x 0 , y 0 ) Δ x − u y ( x 0 , y 0 ) Δ y ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + {\displaystyle =\lim _{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})-u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}+} + i ⋅ v ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − v ( x 0 , y 0 ) − v x ( x 0 , y 0 ) Δ x − v y ( x 0 , y 0 ) Δ y ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 {\displaystyle +i\cdot {\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})-v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}=0} Questo limite esiste se e solo se sia la parte reale che immaginaria tendono allo stesso limite, cioè è zero se e solo se:
lim Δ z → 0 | Δ u | | Δ z | = 0 lim Δ z → 0 | Δ v | | Δ z | = 0 {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta u|}{|\Delta z|}}=0\qquad \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta v|}{|\Delta z|}}=0} dalle quali si vede che u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} sono differenziabili in z 0 {\displaystyle z_{0}} .
Si consideri la funzione f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)} , definita in un intorno del punto z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}} . Si supponga che esistano le derivate parziali: u x ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle u_{x}(x_{0},y_{0})} , u y ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle u_{y}(x_{0},y_{0})} , v x ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle v_{x}(x_{0},y_{0})} e v y ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle v_{y}(x_{0},y_{0})} , siano continue e soddisfino le equazioni di Cauchy-Riemann. Allora f ( z 0 ) {\displaystyle f(z_{0})} è derivabile in questo punto.
Per mostrare che:
f ′ ( z ) = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = lim Δ z → 0 Δ ω Δ z = lim Δ z → 0 Δ u + i ⋅ Δ v Δ z {\displaystyle f'(z)=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta \omega }{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\cdot \Delta v}{\Delta z}}} si può sviluppare questo limite nella parte reale e immaginaria e sfruttare la continuità delle derivate parziali:
{ Δ u = u ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − u ( x 0 , y 0 ) Δ v = v ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − v ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})\\\Delta v=v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})\end{cases}}} da cui:
{ Δ u = u x ( x 0 , y 0 ) Δ x + u y ( x 0 , y 0 ) Δ y + ε 1 ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 Δ v = v x ( x 0 , y 0 ) Δ x + v y ( x 0 , y 0 ) Δ y + ε 2 ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 {\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\varepsilon _{1}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\\\Delta v=v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\varepsilon _{2}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{cases}}} dove ε 1 → 0 {\displaystyle \varepsilon _{1}\to 0} e ε 2 → 0 {\displaystyle \varepsilon _{2}\to 0} per ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) {\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\to (0,0)} .
Poiché per ipotesi valgono le equazioni di Cauchy-Riemann, si può scrivere il rapporto incrementale come:
f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z = Δ ω Δ z = Δ u + i ⋅ Δ v Δ z = u x ( x 0 , y 0 ) + i v x ( x 0 , y 0 ) + ( ε 1 + ε 2 ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 Δ z {\displaystyle {\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta z}}={\frac {\Delta u+i\cdot \Delta v}{\Delta z}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})+(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}){\frac {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}{\Delta z}}} Ma:
( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = | Δ z | {\displaystyle {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=|\Delta z|} quindi l'ultima frazione al secondo membro è 1; mentre ( ε 1 + ε 2 ) → 0 {\displaystyle (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2})\to 0} per ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) {\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\to (0,0)} . Per cui il limite del rapporto scritto sopra è la derivata.
Le forme con cui si può scrivere la derivata sono le seguenti:
f ′ ( z ) = { u x ( x , y ) + i v x ( x , y ) v y ( x , y ) − i u y ( x , y ) u x ( x , y ) − i u y ( x , y ) v y ( x , y ) + i v x ( x , y ) {\displaystyle f'(z)={\begin{cases}u_{x}(x,y)+iv_{x}(x,y)\\v_{y}(x,y)-iu_{y}(x,y)\\u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)\\v_{y}(x,y)+iv_{x}(x,y)\end{cases}}} La f ( z ) = z ¯ {\displaystyle f(z)={\overline {z}}} (coniugio) non è C {\displaystyle \mathbb {C} } -derivabile: dovrebbe esistere il
lim u → 0 f ( z 0 + u ) − f ( z 0 ) u = lim u → 0 z 0 + u ¯ − z 0 ¯ u = lim u → 0 z 0 ¯ + u ¯ − z 0 ¯ u = lim u → 0 u ¯ u = lim h + i k → 0 h − i k h + i k {\displaystyle \lim _{u\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}+u}}-{\overline {z_{0}}}}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}}}+{\overline {u}}-{\overline {z_{0}}}}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {\overline {u}}{u}}=\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {h-ik}{h+ik}}} Se questo limite esistesse, lungo l'asse x {\displaystyle x} dovrebbe essere:
lim h + i k → 0 k = 0 h − i k h + i k = lim h → 0 h h = 1 {\displaystyle \lim _{{h+ik\rightarrow 0} \atop {k=0}}{\frac {h-ik}{h+ik}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1} mentre lungo l'asse y {\displaystyle y} :
lim h + i k → 0 h = 0 h − i k h + i k = lim k → 0 − i k i k = − 1 {\displaystyle \lim _{{h+ik\rightarrow 0} \atop {h=0}}{\frac {h-ik}{h+ik}}=\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {-ik}{ik}}=-1} dunque la f ( z ) = z ¯ {\displaystyle f(z)={\overline {z}}} non è derivabile.
La f ( z ) = z 2 {\displaystyle f(z)=z^{2}} è invece derivabile. Si ha:
lim u → 0 f ( z 0 + u ) − f ( z 0 ) u = lim u → 0 ( z 0 + u ) 2 − z 0 2 u = lim h + i k → 0 ( ( x 0 + h ) + i ( y 0 + k ) ) 2 − ( x 0 + i y 0 ) 2 h + i k = {\displaystyle \lim _{u\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {(z_{0}+u)^{2}-{z_{0}}^{2}}{u}}=\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {((x_{0}+h)+i(y_{0}+k))^{2}-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=} = lim h + i k → 0 ( ( x 0 + i y 0 ) + ( h + i k ) ) 2 − ( x 0 + i y 0 ) 2 h + i k = {\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {((x_{0}+iy_{0})+(h+ik))^{2}-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=} = lim h + i k → 0 ( x 0 + i y 0 ) 2 + ( h + i k ) 2 + 2 ( x 0 + i y 0 ) ( h + i k ) − ( x 0 + i y 0 ) 2 h + i k = {\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {(x_{0}+iy_{0})^{2}+(h+ik)^{2}+2(x_{0}+iy_{0})(h+ik)-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=} = lim h + i k → 0 ( h + i k ) 2 + 2 ( x 0 + i y 0 ) ( h + i k ) h + i k = {\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {(h+ik)^{2}+2(x_{0}+iy_{0})(h+ik)}{h+ik}}=} = lim h + i k → 0 ( h + i k ) + 2 ( x 0 + i y 0 ) = 2 ( x 0 + i y 0 ) = 2 z 0 = f z ′ ( z 0 ) {\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}(h+ik)+2(x_{0}+iy_{0})=2(x_{0}+iy_{0})=2z_{0}=f'_{z}(z_{0})} e questo limite è lo stesso lungo ogni restrizione.
(EN ) Shilov, G. E. Elementary Real and Complex Analysis . New York: Dover, p. 379, 1996. (EN ) Krantz, S. G. "The Complex Derivative." §1.3.5 and 2.2.3 in Handbook of Complex Variables . Boston, MA: Birkhäuser, pp. 15-16 and 24, 1999.