Fascio di piani

Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune (fascio proprio) oppure paralleli fra di loro (fascio improprio).

Un fascio di piani ha equazione analoga a quella di un piano, in cui i coefficienti sono però determinati a meno di un parametro libero ${\displaystyle k}$ di primo grado; ad ogni valore del parametro corrisponde un piano del fascio:

${\displaystyle a(k)x+b(k)y+c(k)z+d(k)=0}$.

Nel caso di un fascio proprio, è sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale del parametro ${\displaystyle k}$ in modo da separare l'equazione del piano come segue:

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})=0}$;

i due piani:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\end{matrix}}}$

sono detti generatori del fascio e individuano la retta appartenente a tutti i piani del fascio. ${\displaystyle \Pi _{1}}$ si ottiene per ${\displaystyle k=0}$, mentre ${\displaystyle \Pi _{2}}$, pur appartenendo al fascio, non è ricavabile per alcun valore reale attribuibile al parametro, ma è soltanto approssimabile tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di ${\displaystyle k}$.

Un fascio improprio è formato da piani paralleli fra di loro, con in comune la stessa normale, pertanto il parametro ${\displaystyle k}$ compare soltanto nel termine noto. In questo caso è possibile prendere come generatori due piani qualunque appartenenti al fascio.

La definizione più generale di fascio di piani utilizza un parametro reale proiettivo: dati i due piani ${\displaystyle \Pi _{1}}$ e ${\displaystyle \Pi _{2}}$ di equazioni:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\end{matrix}}}$,

il fascio di piani da essi generato è definito dalla combinazione lineare delle due equazioni:

${\displaystyle \mu (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1})+\lambda (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})=0}$,

dove ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \lambda }$ sono due parametri reali non entrambi nulli. Se i due piani generatori sono paralleli, si ottiene un fascio improprio, altrimenti si ottiene un fascio proprio i cui piani hanno in comune la retta individuata dai due generatori.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani del fascio. Posto ${\displaystyle \mu \neq 0}$, ogni coppia ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ con lo stesso rapporto ${\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}}$ individua lo stesso piano e può essere identificata dal singolo parametro ${\displaystyle k={\frac {\lambda }{\mu }}\in \mathbb {R} }$. La coppia di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo ${\displaystyle [\lambda ,\mu ]\in \mathbb {P} }$.

L'intersezione di un fascio di piani con un piano non appartenente al fascio è un fascio di rette. Se il fascio di piani è proprio (una retta in comune), anche il fascio di rette che si ottiene è proprio (un punto in comune); se invece il fascio di piani è improprio (piani paralleli), il corrispondente fascio di rette è improprio (rette parallele).

• Stella di piani
• Fascio di rette
• Coordinate omogenee

• (EN) Eric W. Weisstein, Fascio di piani, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Weisstein, Eric W. "Bundle of Planes." From MathWorld--A Wolfram Web Resource., su mathworld.wolfram.com.

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