Funzione a variazione limitata

In analisi matematica una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}}$

se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di ${\displaystyle x}$ a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.

In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.

Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.

Si definiscono innanzitutto le variazioni (rispettivamente positiva, negativa e totale) di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato a valori reali ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ come

${\displaystyle P_{a}^{b}(f)=\limsup _{\delta (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}[f(x_{i+1})-f(x_{i})]^{+}}$

${\displaystyle N_{a}^{b}(f)=\limsup _{\delta (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}[f(x_{i+1})-f(x_{i})]^{-}}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\limsup _{\delta (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|}$

dove ${\displaystyle P}$ è un'arbitraria partizione dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\displaystyle \delta (P)}$ il suo calibro (ossia l'ampiezza del massimo intervallo della partizione); ${\displaystyle f^{+}}$ e ${\displaystyle f^{-}}$ sono la parte positiva e parte negativa di una funzione.

Vale la relazione

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=P_{a}^{b}(f)+N_{a}^{b}(f)}$

e che se la funzione è monotona a tratti, allora la sua variazione totale è la somma delle variazioni in ogni singolo intervallino di monotonia.

Si dice dunque che ${\displaystyle f}$ è a variazione limitata e si scrive ${\displaystyle f\in BV[a,b]}$ se ${\displaystyle V_{a}^{b}(f)<\infty }$.

Si può provare che ${\displaystyle f}$ è a variazione limitata se e solo se si può scrivere come differenza di due funzioni monotone non decrescenti (decomposizione di Jordan). Una possibile decomposizione è ad esempio

${\displaystyle f(x)=f(a)+P_{a}^{x}(f)-N_{a}^{x}(f)}$

in quanto variazione positiva e negativa sono quantità sempre maggiori o uguali a zero, quindi monotone al crescere dell'intervallo. Per lo stesso motivo, nella definizione di ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle V}$ si poteva prendere equivalentemente l'estremo superiore invece del limite superiore.

Per funzioni di più variabili si possono dare due definizioni, che risultano equivalenti (${\displaystyle \Omega }$ sarà un insieme aperto in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$):

• Una ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ integrabile si dice a variazione limitata, ${\displaystyle f\in BV(\Omega )}$, se esiste una misura di Radon vettoriale finita ${\displaystyle Df\in {\mathcal {M}}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$ tale che

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Df(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$,
cioè ${\displaystyle f}$ definisce un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni vettoriali a supporto compatto. ${\displaystyle Df}$ rappresenta un gradiente debole di ${\displaystyle f}$.

• Una ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ integrabile si dice a variazione limitata, ${\displaystyle f\in BV(\Omega )}$, se la sua variazione totale

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}.}$
è finita.

Supponendo sia valida la prima definizione, allora ${\displaystyle V(f,\Omega )}$ è esattamente la norma del funzionale (visto come operatore lineare continuo) che esiste per ipotesi, dunque è necessariamente finita.

Il viceversa si ottiene dalla disuguaglianza

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}\,dx\right|\leq V(f,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

che implica che ${\displaystyle \Phi \mapsto \int _{\Omega }f(x){\mbox{div}}\Phi (x)}$ è un funzionale lineare continuo sullo spazio ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$, che è un sottospazio lineare di ${\displaystyle C(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$; tale funzionale si estende allora per linearità e continuità a tutto lo spazio grazie al teorema di Hahn-Banach, quindi definisce una misura di Radon.

È già stato dato un esempio di funzione che non è a variazione limitata. La stessa funzione, però, è a variazione limitata in ogni intervallo ${\displaystyle [\varepsilon ,1]}$ ad esempio, con ${\displaystyle \varepsilon >0}$, poiché la "singolarità" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del dominio.

Risulta essere a variazione limitata in ${\displaystyle [0,1]}$ invece la funzione

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}}$

Mentre pur essendo uniformemente continua non è a variazione limitata la funzione in ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}}$

perché l'integrale del modulo della derivata diverge.

Un'importante classe di funzioni che risultano essere a variazione limitata sono le funzioni integrabili con derivata a sua volta integrabile, cioè gli elementi dello spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ (in una variabile e su un intervallo limitato, questa classe non è altro che la classe delle funzioni assolutamente continue, a meno di rappresentanti).

In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare limitata. Inoltre, essa è derivabile quasi ovunque e ammette al più solo discontinuità di prima specie: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f'(x)|dx\leq V_{a}^{b}(f)}$

con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è assolutamente continua.

Sempre riguardo alla decomposizione di Jordan, ${\displaystyle P_{a}^{b}(f)}$ e ${\displaystyle N_{a}^{b}(f)}$ sono le funzioni monotone "minimali" per cui valga la rappresentazione, nel senso che se

${\displaystyle f(x)=f(a)+g(x)-h(x)}$,

con ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle h}$ monotone, allora

${\displaystyle g\geq P_{a}^{b}(f)}$ e ${\displaystyle h\geq N_{a}^{b}(f)}$.

In generale, lo spazio funzionale ${\displaystyle BV(\Omega )}$ è uno spazio vettoriale: risulta essere uno spazio di Banach se munito della norma

${\displaystyle \|f\|_{BV(\Omega )}=\|f\|_{L^{1}(\Omega )}+V(f,\Omega )}$

Sempre riguardo agli aspetti di analisi funzionale, si dimostra anche che il funzionale variazione ${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$ è semicontinuo inferiormente rispetto alla norma di ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$, cioè se ${\displaystyle f_{n}\to f}$ in norma ${\displaystyle L^{1}}$, allora

${\displaystyle V(f,\Omega )\leq \liminf _{n}V(f_{n},\Omega )}$.

Per le funzioni BV vale una versione leggermente modificata della regola della catena: se ${\displaystyle f\in C^{1}(\mathbb {R} ^{p})}$ e ${\displaystyle u\in BV(\Omega )}$ allora ${\displaystyle f(u)\in BV(\Omega )}$ e

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

dove

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)dt}$

è il valor medio della funzione nel punto ${\displaystyle x}$. Da questo teorema discende anche che il prodotto di due funzioni BV è ancora BV; ciò rende lo spazio ${\displaystyle BV(\Omega )}$ un'algebra di Banach.

Osservazione: è possibile dimostrare che il prodotto di due funzioni a variazione limitata è ancora una funzione a variazione limitata senza fare ricorso alle derivate. In questo caso il risultato si estende alle funzioni a variazione limitata da un intervallo [0,T] a uno spazio di Banach X.

• Funzione limitata
• Funzione assolutamente continua
• Spazio di Sobolev
• Calcolo delle variazioni
• Misura di Radon
• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Teorema di Helly

• BV function su PlanetMath
• Bounded Variation su MathWorld

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