Armoniche sferiche

In analisi matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre, introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782.^[1] Sono importanti per esempio nel calcolo degli orbitali atomici, nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar, e nella caratterizzazione della radiazione di fondo. Nella grafica 3D, giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96, il geoide standard di riferimento del WGS84.

Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \varphi }$. Sono importanti in molti campi teorici e applicativi, in particolare in meccanica quantistica, nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.

Le soluzioni dell'equazione di Legendre sono di tipo polinomiale (avendo posto ${\displaystyle l}$ intero positivo) e sono una generalizzazione dei polinomi di Legendre che sono ottenibili per ${\displaystyle m=0}$. Tali soluzioni sono dette polinomi di Legendre associati e hanno la forma:^[2]

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}P_{l}(x)}{dx^{m}}},}$

dove ${\displaystyle P_{l}(x)}$ sono appunto i polinomi di Legendre. In particolare si definiscono armoniche sferiche o funzioni sferiche le funzioni

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{\frac {m+|m|}{2}}}\left\{{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\right\}^{\frac {1}{2}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },}$

con la condizione ${\displaystyle |m|\leq l.}$

Le armoniche sferiche, scritte in coordinate cartesiane, assumono la forma di polinomi complessi omogenei di grado ${\displaystyle l.}$

Sia ${\displaystyle {\hat {n}}}$ un versore, quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate ${\displaystyle (\theta ,\varphi ).}$

• Complesso coniugato

${\displaystyle \left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).}$

• Parità totale. Sotto inversione di tutte le coordinate ${\displaystyle x\to -x,y\to -y,z\to -z}$ ovvero ${\displaystyle \theta \to \pi -\theta ,\varphi \to \varphi +\pi }$ le armoniche sferiche sono dispari o pari a seconda di ${\displaystyle l}$:

${\displaystyle PY_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

• Parità nel piano ${\displaystyle xy}$. Sotto inversione delle sole coordinate ${\displaystyle x,y}$ le armoniche sferiche sono pari o dispari a seconda di ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle P_{xy}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

• Parità lungo ${\displaystyle z}$. Sotto inversione della sola ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle z\to -z}$:

${\displaystyle P_{z}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi )=(-1)^{l+m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

poiché ${\displaystyle P_{z}=P\,P_{xy}}$

Le funzioni di Bessel sono legate alle funzioni di Bessel cilindriche ${\displaystyle J_{\alpha }}$:^[3]

${\displaystyle j_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{\alpha +1/2}(x).}$

Le funzioni di Neumann sono legate alle funzioni di Neumann cilindriche ${\displaystyle y_{\alpha }}$:^[3]

${\displaystyle y_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{\alpha +1/2}(x)=(-1)^{\alpha +1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-\alpha -1/2}(x).}$

Le funzioni di Hankel sono definite in modo analogo alle funzioni di Hankel cilindriche ${\displaystyle H_{\alpha }}$:^[4]

${\displaystyle h_{\alpha }^{(1)}(x)=j_{\alpha }(x)+iy_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle h_{\alpha }^{(2)}(x)=j_{\alpha }(x)-iy_{\alpha }(x)}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Tavola delle armoniche sferiche.

Le prime armoniche sferiche sono:^[5]

${\displaystyle Y_{0}^{0}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {1 \over \pi }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}\cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}{z \over r}\\Y_{1}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x+iy) \over r}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}-2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz-iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{0}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}(3\cos ^{2}\theta -1)&&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}{(-x^{2}-y^{2}+2z^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz+iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}+2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\end{aligned}}}$

Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale ${\displaystyle L^{2}}$ , della sua componente lungo ${\displaystyle z}$ e dell'operatore parità:

${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )\equiv \langle \theta ,\varphi |l,m\rangle .}$

E si ha:

${\displaystyle L^{2}Y_{l}^{m}={l(l+1)}\hslash ^{2}Y_{l}^{m}}$

${\displaystyle L_{z}Y_{l}^{m}=m\hslash Y_{l}^{m}.}$

Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle \nabla _{\Omega }^{2}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}=-{\frac {1}{\hslash ^{2}r^{2}}}L^{2},}$

possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere una costante del moto:

${\displaystyle [H,L]=0.}$

Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai numeri quantici dell'operatore momento angolare ${\displaystyle l}$ e ${\displaystyle m}$ si trovi in una posizione la cui direzione è definita dai valori di ${\displaystyle \theta ,\varphi }$, angoli delle coordinate sferiche.

• (EN) M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1965, ISBN 978-04-86-61272-0. (capitolo 8 e capitolo 22)
• Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
• John D Jackson, Elettrodinamica classica, traduzione di A. Barbieri, 3ª ed., Zanichelli, 2001, pp. 105-108, ISBN 978-88-08-09153-6.
• Isaac Todhunter An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions^{[collegamento interrotto]} (MacMillan, London, 1877)
• Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877)
• William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & co., Boston, 1893)
• Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1)
• Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)

• Funzione armonica
• Tavola delle armoniche sferiche
• Armoniche cilindriche

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle armoniche sferiche

• (EN) spherical harmonic, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Armoniche sferiche, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Armoniche sferiche, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Trattazione analitica, su mathworld.wolfram.com.
• Trattazione analitica, su math.ohio-state.edu. URL consultato il 28 febbraio 2006 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006).

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