Simplettomorfismo

In matematica, un simplettomorfismo è un isomorfismo della categoria delle varietà simplettiche.

Siano (M₁, ω₁) e (M₂, ω₂) varietà simplettiche. Una mappa

${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$

si dice simplettomorfismo se è un diffeomorfismo e il pull-back di ω₂ rispetto a f è uguale a ω₁:

${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}.}$

Esempi di simplettomorfismi includono le trasformazioni canoniche in meccanica classica e fisica teorica, i flussi associati alle funzioni hamiltoniane, le mappe indotte da ogni diffeomorfismo tra varietà sul fibrato cotangente, e l'azione coaggiunta di un elemento di un Gruppo di Lie su una orbita coaggiunta.

• Le traslazioni in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sono simplettomorfismi.

Qualunque funzione su una varietà simplettica dà luogo, per definizione, a un campo vettoriale hamiltoniano: l'insieme dei quali forma una sottoalgebra dell'algebra di Lie dei campi vettoriali simplettici. L'integrazione del flusso di un campo vettoriale simplettico è un simplettomorfismo. Poiché i simplettomorfismi preservano la 2-forma simplettica e quindi la forma volume simplettica, ne consegue il teorema di Liouville della meccanica hamiltoniana. I simplettomorfismi che derivano da campi vettoriali hamiltoniani sono detti simplettomorfismi hamiltoniani.

Poiché

${\displaystyle \{H,H\}=X_{H}(H)=0}$

il flusso di un campo vettoriale hamiltoniano preserva anche H. In fisica questo è interpretato come legge di conservazione dell'energia.

Se il primo numero di Betti di una varietà simplettica compatta è zero, l'insieme dei campi vettoriali hamiltoniani coincide con quello dei campi vettoriali simplettici.

I simplettomorfismi da una varietà in se stessa formano uno pseudogruppo infinito-dimensionale. La corrispondente algebra di Lie è generata dai campi vettoriali simplettici. I simplettomorfismi hamiltoniani formano un sottogruppo, la cui algebra di Lie è data dai campi vettoriali hamiltoniani. Quest'ultima è isomorfa all'algebra delle funzioni lisce sulla varietà rispetto alle parentesi di Poisson, modulo le funzioni costanti.

I gruppi dei diffeomorfismi hamiltoniani sono gruppi di Lie semplici, in virtù di un teorema di Augustin Banyaga.

A differenza delle varietà riemanniane, quelle simplettiche non sono molto rigide: il teorema di Darboux mostra che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe. Al contrario, le isometrie della geometria riemanniana devono preservare il tensore di Riemann, che è perciò un invariante locale della varietà riemanniana. Inoltre, ogni funzione H su una varietà simplettica definisce un campo vettoriale hamiltoniano X_H, che genera tramite la mappa esponenziale un sottogruppo a un parametro del gruppo dei simplettomorfismi. Segue che il gruppo dei simplettomofismi è sempre molto grande, e, in particolare, infinito-dimensionale. Il gruppo delle isometrie di una varietà riemanniana, invece, è sempre un gruppo di Lie finito-dimensionale. Inoltre, le varietà riemanniane con grandi gruppi di simmetria sono casi molto particolari, e una generica varietà riemanniana non possiede alcuna simmetria.

Una celebre congettura di V. I. Arnold mette in relazione il numero minimo di punti fissi per un simplettomorfismo hamiltoniano f su M, nel caso in cui M sia una varietà chiusa, con la Morse theory. Più precisamente, la congettura asserisce che f ha un numero di punti fissi pari almeno al numero di punti critici che una funzione liscia su M deve avere (nel caso generico, una funzione di Morse, per la quale esiste un numero finito definito pari almeno a 2).

È risaputo che questo seguirebbe dalla congettura di Arnold-Givental (da V.I Arnold e Alexander Givental), la quale riguarda le sottovarietà lagrangiane.

• Dusa McDuff e D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Ralph Abraham e Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X Vedi la sezione 3.2.

gruppi dei simplettomorfismi:

• Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307—347.
• Polterovich, Leonid. The geometry of the group of symplectic diffeomorphism. Basel ; Boston : Birkhauser Verlag, 2001.

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