Trasformata zeta

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali.

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.^[1] Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University.^[2][3] Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ o un suo sottoinsieme.

Sia ${\displaystyle x[n]}$ una successione di numeri complessi, indicizzata con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. La sua trasformata unilatera è definita come la serie formale di potenze complesse

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n},\qquad {\mbox{ per }}z\in \mathbb {C} .}$

In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto. Solitamente, in tale ambito la successione ${\displaystyle x[n]}$ rappresenta il campionamento regolare di un segnale ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ causale (i.e. ${\displaystyle f}$ è nulla per tempi negativi), in corrispondenza dei tempi della forma ${\displaystyle t=n\,\tau }$. Il passo di campionamento ${\displaystyle \tau >0}$ è fissato. In altre parole

${\displaystyle x[n]=f(n\,\tau ),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} .}$

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:

${\displaystyle ROC=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\,z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

La serie converge per valori di ${\displaystyle z}$ in modulo maggiori del raggio di convergenza ${\displaystyle R}$, definito tramite il criterio della radice come:

${\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|x[n]|}}}$

Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un ${\displaystyle n}$ arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta unilatera è una serie di potenze con esponente negativo.

Talvolta, può essere utile definire la trasformata di una successione ${\displaystyle x[n]}$ indicizzata su ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. In tal caso, la sua trasformata bilatera è definita come la serie formale di potenze

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

dove di nuovo ${\displaystyle z}$ è complesso.

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,\qquad n\in \mathbb {N} .}$

dove ${\displaystyle C}$ è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di ${\displaystyle X(z)}$ e circonda l'origine del piano. La formula precedente diventa particolarmente utile quando ${\displaystyle X(z)}$ ammette un'estensione a tutto il piano complesso, tranne al più un numero finito di singolarità isolate ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\ell }}$. Infatti, in tal caso si può fare appello al Teorema dei Residui ed ottenere

${\displaystyle x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j}),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} }$

Inoltre, nel caso in cui le singolarità isolate ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\ell }}$ siano dei poli, il calcolo dei residui nella formula precedente risulta particolarmente agevole, usando la formula

${\displaystyle \mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j})={\frac {1}{(m_{j}-1)!}}\,\lim _{z\to z_{j}}{\frac {d^{m_{j}-1}}{dz^{m_{j}-1}}}{\Big (}X(z)\,z^{n-1}(z-z_{j})^{m_{j}}{\Big )}}$

ove ${\displaystyle m_{j}}$ è l'ordine del polo ${\displaystyle z_{j}}$.

Un caso di particolare importanza si presenta quando ${\displaystyle C}$ è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .\ }$

	Dominio del tempo	Dominio Z	Dimostrazione	ROC
Notazione	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		ROC: ${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}\ }$
Linearità	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{ll}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}\,x_{1}[n]+a_{2}\,x_{2}[n])\,z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}\\&+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}\,X_{1}(z)+a_{2}\,X_{2}(z)\end{array}}}$	Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Espansione temporale	${\displaystyle x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}}$ ${\displaystyle r}$ intero	${\displaystyle X(z^{k})\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{ll}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}[n]\,z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,z^{-r\,k}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{array}}}$	${\displaystyle r^{1/k}}$
Traslazione temporale	${\displaystyle x[n-k]}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}}$ Posto ${\displaystyle j=n-k}$ si ha: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}}$ ${\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}}$ ${\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}}$ essendo ${\displaystyle x[\beta ]=0}$ se ${\displaystyle \beta <0}$. Da cui: ${\displaystyle z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)}$	ROC, eccetto ${\displaystyle z=0\ }$ se ${\displaystyle k>0\,}$ e ${\displaystyle z=\infty }$ se ${\displaystyle k<0\ }$
Segnali periodici	${\displaystyle x[n+m]=x[n]}$	${\displaystyle X(z)={\frac {z^{m}}{z^{m}-1}}\,\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {x[k]}{z^{k}}}}$
Scalatura nel dominio z	${\displaystyle a^{n}x[n]\ }$	${\displaystyle X(a^{-1}z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}&\\=X(a^{-1}z)&\\\end{array}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\ }$
Inversione temporale	${\displaystyle x[-n]\ }$	${\displaystyle X(z^{-1})\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\ &\\=X(z^{-1})&\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\ }$
Coniugazione complessa	${\displaystyle x^{*}[n]\ }$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{x^{*}(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{*})^{-n}]^{*}\ &\\=[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\ ]^{*}&\\=X^{*}(z^{*})&\\\end{array}}}$	ROC
Parte reale	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$		ROC
Parte immaginaria	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$		ROC
Differenziazione	${\displaystyle nx[n]\ }$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{nx(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\ &\\=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\ &\\=-z{\frac {dX(z)}{dz}}&\\\end{array}}}$	ROC
Convoluzione	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}=&\\{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ &\\=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ &\\=[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ &\\=X_{1}(z)X_{2}(z)&\\\end{array}}}$	Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Cross-correlazione	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}(1/z^{*})X_{2}(z)\ }$		Almeno la regione di intersezione di ROC of ${\displaystyle X_{1}(1/z^{*})}$ e ${\displaystyle X_{2}(z)}$
Prima differenza	${\displaystyle x[n]-x[n-1]\ }$	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)\ }$		Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e ${\displaystyle |z|>0}$
Accumulazione	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+\\x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}}$
Moltiplicazione	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\ }$		-
Teorema di Parseval	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\ }$

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.

Il teorema del valore iniziale afferma che:

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\ }$

se ${\displaystyle x[n]}$ è causale (ovvero nulla per n negativi).

Se la successione ${\displaystyle x[n]}$ ammette limite finito, allora ${\displaystyle X(z)}$ è una funzione analitica all'esterno del disco di raggio ${\displaystyle 1}$ centrato nell'origine e il teorema del valore finale afferma che:

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{\mathbb {R} \ni z\rightarrow 1^{+}}(z-1)\,X(z)\ }$

Il risultato è falso senza l'ipotesi che ${\displaystyle x[n]}$ ammetta limite, come si vede facilmente prendendo la successione ${\displaystyle x[n]=(-1)^{n}}$, la cui trasformata zeta è data da

${\displaystyle X(z)={\frac {z}{z+1}}}$

Siano:

• ${\displaystyle u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

Funzione, ${\displaystyle x[n]}$	Trasformata Z, ${\displaystyle X(z)}$	ROC
${\displaystyle \delta [n]\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\mbox{ogni }}z\,}$
${\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}\,}$	${\displaystyle z\neq 0\,}$
${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
${\displaystyle \,e^{-\alpha n}u[n]}$	${\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}}$	${\displaystyle |z|>|e^{-\alpha }|\,}$
${\displaystyle -u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
${\displaystyle nu[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
${\displaystyle n^{2}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
${\displaystyle n^{3}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
${\displaystyle a^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
${\displaystyle na^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{2}-z\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{2}-az\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Laplace.

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

${\displaystyle z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\ }$

dove ${\displaystyle T=1/f_{s}\ }$ è il periodo di campionamento, con ${\displaystyle f_{s}}$ la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia:

${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$

un treno di impulsi e sia:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$

la rappresentazione tempo-continua del segnale ${\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)}$ ottenuto campionando ${\displaystyle x(t)}$. La trasformata di Laplace di ${\displaystyle x_{q}(t)}$ è data da:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}\end{aligned}}}$

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta ${\displaystyle x[n]\ }$, ovvero:

${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$

con la sostituzione ${\displaystyle z\leftarrow e^{sT}}$. Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:

${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}}$

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:

${\displaystyle z=e^{sT}=e^{T\sigma }e^{jT\omega }=e^{T\sigma }e^{jT(\omega +{\frac {2k\pi }{T}})}\qquad k\in \mathbb {R} }$

L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.

Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti

• ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
• ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché ${\displaystyle |z|=e^{T\sigma }}$
• ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
• ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario

In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra ${\displaystyle \pm j\omega _{s}/2}$, le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.

Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a ${\displaystyle \delta }$ e ${\displaystyle \omega }$ costante.

Si consideri un segnale tempo-continuo ${\displaystyle x(t)}$, la cui trasformata è:

${\displaystyle L\{x(t)\}\equiv X(s)\equiv \int _{0}^{\infty }{x(t)e^{-st}dt}}$

Se ${\displaystyle x(t)}$ è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto ${\displaystyle x^{*}[k]=x(kT)}$ (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:

${\displaystyle x^{*}[k]=x(kT)=\sum _{k=0}^{\infty }{x(t)\delta (t-kT)}}$

dove ${\displaystyle T}$ è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:

${\displaystyle {\begin{array}{l l l l l l}L\{x(kT)\}&=&X^{*}(s)&=&\int _{0}^{\infty }{\sum _{k=0}^{\infty }{x(t).\delta (t-kT)}e^{-st}dt}\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }{x^{*}(k).z^{-k}},z=e^{sT}\\\left.L\{x(kT)\}\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&\left.X^{*}(s)\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&Z\{x^{*}(k)\}\end{array}}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Fourier a tempo discreto.

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

${\displaystyle X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}}$

che si ottiene ponendo ${\displaystyle z=e^{i\omega }\,}$. Dal momento che ${\displaystyle |e^{i\omega }|=1\,}$, la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

Lo stesso argomento in dettaglio: Modello autoregressivo a media mobile.

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\ }$

dove entrambi i membri possono essere divisi per ${\displaystyle \alpha _{0}\ }$, se è diversa da zero, normalizzando ${\displaystyle \alpha _{0}=1\ }$. In questo modo l'equazione assume la forma:

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}}$

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale ${\displaystyle y[{n}]}$ è funzione del valore dell'uscita ${\displaystyle y[{n-p}]}$ a un tempo precedente, dell'ingresso attuale ${\displaystyle x[{n}]}$ e dei precedenti valori ${\displaystyle x[{n-q}]\ }$. Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\ }$

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}}$

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di ${\displaystyle H}$, e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di ${\displaystyle H}$. Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}\ }$

dove ${\displaystyle q_{k}\ }$ è il k-esimo zero e ${\displaystyle p_{k}\ }$ il k-esimo polo. Se il sistema descritto da ${\displaystyle H(z)\ }$ è pilotato dal segnale ${\displaystyle X(z)\ }$ allora l'uscita è data da ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}$.

• El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
• Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445–457 (1999). PDF

• Analisi di Fourier
• Convoluzione
• Lemma di Riemann-Lebesgue
• Serie di Fourier
• Teorema di convoluzione
• Teorema di inversione di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata di Fourier
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata inversa di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Trasformata integrale

• (EN) Eric W. Weisstein, Trasformata zeta, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) J. H. Matthews e R. W. Howell Introduction to the Z-transform (California State University, Fullerton)
• (EN) Springer Encyclopedia of Mathematics: Z-Transform, su eom.springer.de.

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