In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali .
Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace , ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.[ 1] 1952 , da Ragazzini e Zadeh , ricercatori della Columbia University .[ 2] [ 3] trasformata di Laplace . Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
Sia x [ n ] {\displaystyle x[n]} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } trasformata unilatera è definita come la serie formale di potenze complesse
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n , per z ∈ C . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n},\qquad {\mbox{ per }}z\in \mathbb {C} .} In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto. Solitamente, in tale ambito la successione x [ n ] {\displaystyle x[n]} f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } causale (i.e. f {\displaystyle f} t = n τ {\displaystyle t=n\,\tau } τ > 0 {\displaystyle \tau >0}
x [ n ] = f ( n τ ) , per ogni n ∈ N . {\displaystyle x[n]=f(n\,\tau ),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} .}
La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge :
R O C = { z ∈ C : | ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n | < ∞ } {\displaystyle ROC=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\,z^{-n}\right|<\infty \right\}} La serie converge per valori di z {\displaystyle z} raggio di convergenza R {\displaystyle R} criterio della radice come:
R = lim sup n → ∞ | x [ n ] | n {\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|x[n]|}}} Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto , poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un n {\displaystyle n} serie di potenze con esponente negativo.
Talvolta, può essere utile definire la trasformata di una successione x [ n ] {\displaystyle x[n]} n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } trasformata bilatera è definita come la serie formale di potenze
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}} dove di nuovo z {\displaystyle z} complesso .
L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy , è la seguente:
x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z , n ∈ N . {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,\qquad n\in \mathbb {N} .} dove C {\displaystyle C} X ( z ) {\displaystyle X(z)} X ( z ) {\displaystyle X(z)} singolarità isolate z 1 , … , z ℓ {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\ell }} Teorema dei Residui ed ottenere
x [ n ] = ∑ j = 1 ℓ R e s ( X ( z ) z n − 1 , z j ) , per ogni n ∈ N {\displaystyle x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j}),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} }
Inoltre, nel caso in cui le singolarità isolate z 1 , … , z ℓ {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\ell }} poli , il calcolo dei residui nella formula precedente risulta particolarmente agevole, usando la formula
R e s ( X ( z ) z n − 1 , z j ) = 1 ( m j − 1 ) ! lim z → z j d m j − 1 d z m j − 1 ( X ( z ) z n − 1 ( z − z j ) m j ) {\displaystyle \mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j})={\frac {1}{(m_{j}-1)!}}\,\lim _{z\to z_{j}}{\frac {d^{m_{j}-1}}{dz^{m_{j}-1}}}{\Big (}X(z)\,z^{n-1}(z-z_{j})^{m_{j}}{\Big )}}
ove m j {\displaystyle m_{j}} ordine del polo z j {\displaystyle z_{j}}
Un caso di particolare importanza si presenta quando C {\displaystyle C} circonferenza unitaria . In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π + π X ( e j ω ) e j ω n d ω . {\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .\ } Dominio del tempo Dominio Z Dimostrazione ROC Notazione x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}} X ( z ) = Z { x [ n ] } {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}} ROC: r 2 < | z | < r 1 {\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}\ } Linearità a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] {\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\ } a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\ } X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] ) z − n = a 1 ∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] z − n + a 2 ∑ n = − ∞ ∞ x 2 [ n ] z − n = a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}\,x_{1}[n]+a_{2}\,x_{2}[n])\,z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}\\&+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}\,X_{1}(z)+a_{2}\,X_{2}(z)\end{array}}} Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2 Espansione temporale x ( k ) [ n ] = { x [ r ] , n = r k 0 , n ≠ r k {\displaystyle x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}} r {\displaystyle r}
X ( z k ) {\displaystyle X(z^{k})\ } X k ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x k [ n ] z − n = ∑ r = − ∞ ∞ x [ r ] z − r k = ∑ r = − ∞ ∞ x [ r ] ( z k ) − r = X ( z k ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}[n]\,z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,z^{-r\,k}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{array}}} r 1 / k {\displaystyle r^{1/k}} Traslazione temporale x [ n − k ] {\displaystyle x[n-k]} z − k X ( z ) {\displaystyle z^{-k}X(z)} Z { x [ n − k ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n {\displaystyle Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}} Posto j = n − k {\displaystyle j=n-k} ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − ( j + k ) = ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − j z − k {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}} = z − k ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − j {\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}} = z − k ∑ j = 0 ∞ x [ j ] z − j {\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}} x [ β ] = 0 {\displaystyle x[\beta ]=0} β < 0 {\displaystyle \beta <0} z − k ∑ j = 0 ∞ x [ j ] z − j = z − k X ( z ) {\displaystyle z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)}
ROC, eccetto z = 0 {\displaystyle z=0\ } k > 0 {\displaystyle k>0\,} z = ∞ {\displaystyle z=\infty } k < 0 {\displaystyle k<0\ } Segnali periodici x [ n + m ] = x [ n ] {\displaystyle x[n+m]=x[n]} X ( z ) = z m z m − 1 ∑ k = 0 m − 1 x [ k ] z k {\displaystyle X(z)={\frac {z^{m}}{z^{m}-1}}\,\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {x[k]}{z^{k}}}} Scalatura nel dominio z a n x [ n ] {\displaystyle a^{n}x[n]\ } X ( a − 1 z ) {\displaystyle X(a^{-1}z)\ } Z { a n x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ a n x ( n ) z − n = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( a − 1 z ) − n = X ( a − 1 z ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}&\\=X(a^{-1}z)&\\\end{array}}} | a | r 2 < | z | < | a | r 1 {\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\ } Inversione temporale x [ − n ] {\displaystyle x[-n]\ } X ( z − 1 ) {\displaystyle X(z^{-1})\ } Z { x ( − n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ( − n ) z − n = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) z m = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) ( z − 1 ) − m = X ( z − 1 ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\ &\\=X(z^{-1})&\\\end{array}}} 1 r 1 < | z | < 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\ } Coniugazione complessa x ∗ [ n ] {\displaystyle x^{*}[n]\ } X ∗ ( z ∗ ) {\displaystyle X^{*}(z^{*})\ } Z { x ∗ ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ∗ ( n ) z − n = ∑ n = − ∞ ∞ [ x ( n ) ( z ∗ ) − n ] ∗ = [ ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( z ∗ ) − n ] ∗ = X ∗ ( z ∗ ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{x^{*}(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{*})^{-n}]^{*}\ &\\=[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\ ]^{*}&\\=X^{*}(z^{*})&\\\end{array}}} ROC Parte reale Re { x [ n ] } {\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}\ } 1 2 [ X ( z ) + X ∗ ( z ∗ ) ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]} ROC Parte immaginaria Im { x [ n ] } {\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}\ } 1 2 j [ X ( z ) − X ∗ ( z ∗ ) ] {\displaystyle {\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]} ROC Differenziazione n x [ n ] {\displaystyle nx[n]\ } − z d X ( z ) d z {\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}} Z { n x ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ n x ( n ) z − n = z ∑ n = − ∞ ∞ n x ( n ) z − n − 1 = − z ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( − n z − n − 1 ) = − z ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) d d z ( z − n ) = − z d X ( z ) d z {\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{nx(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\ &\\=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\ &\\=-z{\frac {dX(z)}{dz}}&\\\end{array}}} ROC Convoluzione x 1 [ n ] ∗ x 2 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]\ } X 1 ( z ) X 2 ( z ) {\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)\ } Z { x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) } = Z { ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) x 2 ( n − l ) } = ∑ n = − ∞ ∞ [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) x 2 ( n − l ) ] z − n = ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n − l ) z − n ] = [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) z − l ] [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) z − n ] = X 1 ( z ) X 2 ( z ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}=&\\{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ &\\=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ &\\=[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ &\\=X_{1}(z)X_{2}(z)&\\\end{array}}} Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2 Cross-correlazione r x 1 , x 2 = x 1 ∗ [ − n ] ∗ x 2 [ n ] {\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]\ } R x 1 , x 2 ( z ) = X 1 ∗ ( 1 / z ∗ ) X 2 ( z ) {\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}(1/z^{*})X_{2}(z)\ } Almeno la regione di intersezione di ROC of X 1 ( 1 / z ∗ ) {\displaystyle X_{1}(1/z^{*})} X 2 ( z ) {\displaystyle X_{2}(z)} Prima differenza x [ n ] − x [ n − 1 ] {\displaystyle x[n]-x[n-1]\ } ( 1 − z − 1 ) X ( z ) {\displaystyle (1-z^{-1})X(z)\ } Almeno la regione di intersezione di ROC of X1 (z) e | z | > 0 {\displaystyle |z|>0} Accumulazione ∑ k = − ∞ n x [ k ] {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\ } 1 1 − z − 1 X ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)} ∑ n = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ n x [ k ] ⋅ z − n = ∑ n = − ∞ ∞ ( x [ n ] + x [ n − 1 ] + x [ n − 2 ] ⋯ x [ − ∞ ] ) z − n = X [ z ] ( 1 + z − 1 + z − 2 + z − 3 ⋯ ) = X [ z ] ∑ j = 0 ∞ z − j = X [ z ] 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+\\x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}} Moltiplicazione x 1 [ n ] x 2 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]\ } 1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ( z v ) v − 1 d v {\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\ } - Teorema di Parseval ∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] x 2 ∗ [ n ] {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\ } 1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ∗ ( 1 v ∗ ) v − 1 d v {\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\ }
Analogamente alla trasformata di Laplace , anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.
Il teorema del valore iniziale afferma che:
x [ 0 ] = lim z → ∞ X ( z ) {\displaystyle x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\ } se x [ n ] {\displaystyle x[n]}
Se la successione x [ n ] {\displaystyle x[n]} X ( z ) {\displaystyle X(z)} funzione analitica all'esterno del disco di raggio 1 {\displaystyle 1}
x [ ∞ ] = lim R ∋ z → 1 + ( z − 1 ) X ( z ) {\displaystyle x[\infty ]=\lim _{\mathbb {R} \ni z\rightarrow 1^{+}}(z-1)\,X(z)\ }
Il risultato è falso senza l'ipotesi che x [ n ] {\displaystyle x[n]} x [ n ] = ( − 1 ) n {\displaystyle x[n]=(-1)^{n}}
X ( z ) = z z + 1 {\displaystyle X(z)={\frac {z}{z+1}}} Siano:
u [ n ] = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 {\displaystyle u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}} δ [ n ] = { 1 , n = 0 0 , n ≠ 0 {\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}} Funzione, x [ n ] {\displaystyle x[n]} Trasformata Z, X ( z ) {\displaystyle X(z)} ROC δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]\,} 1 {\displaystyle 1\,} ogni z {\displaystyle {\mbox{ogni }}z\,} δ [ n − n 0 ] {\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,} z − n 0 {\displaystyle z^{-n_{0}}\,} z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0\,} u [ n ] {\displaystyle u[n]\,} 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} e − α n u [ n ] {\displaystyle \,e^{-\alpha n}u[n]} 1 1 − e − α z − 1 {\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}} | z | > | e − α | {\displaystyle |z|>|e^{-\alpha }|\,} − u [ − n − 1 ] {\displaystyle -u[-n-1]\,} 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} n u [ n ] {\displaystyle nu[n]\,} z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} − n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -nu[-n-1]\,} z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} n 2 u [ n ] {\displaystyle n^{2}u[n]\,} z − 1 ( 1 + z − 1 ) ( 1 − z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} − n 2 u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,} z − 1 ( 1 + z − 1 ) ( 1 − z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} n 3 u [ n ] {\displaystyle n^{3}u[n]\,} z − 1 ( 1 + 4 z − 1 + z − 2 ) ( 1 − z − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} − n 3 u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{3}u[-n-1]\,} z − 1 ( 1 + 4 z − 1 + z − 2 ) ( 1 − z − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} a n u [ n ] {\displaystyle a^{n}u[n]\,} 1 1 − a z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|\,} − a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -a^{n}u[-n-1]\,} 1 1 − a z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|\,} n a n u [ n ] {\displaystyle na^{n}u[n]\,} a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|\,} − n a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -na^{n}u[-n-1]\,} a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|\,} n 2 a n u [ n ] {\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]\,} a z − 1 ( 1 + a z − 1 ) ( 1 − a z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|\,} − n 2 a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]\,} a z − 1 ( 1 + a z − 1 ) ( 1 − a z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|\,} cos ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]\,} z 2 − z cos ( ω 0 ) z 2 − 2 z cos ( ω 0 ) + 1 {\displaystyle {\frac {z^{2}-z\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} sin ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]\,} z sin ( ω 0 ) z 2 − 2 z cos ( ω 0 ) + 1 {\displaystyle {\frac {z\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} a n cos ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,} z 2 − a z cos ( ω 0 ) z 2 − 2 a z cos ( ω 0 ) + a 2 {\displaystyle {\frac {z^{2}-az\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|\,} a n sin ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,} a z sin ( ω 0 ) z 2 − 2 a z cos ( ω 0 ) + a 2 {\displaystyle {\frac {az\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|\,}
La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:
z = d e f e s T {\displaystyle z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\ } dove T = 1 / f s {\displaystyle T=1/f_{s}\ } f s {\displaystyle f_{s}} hertz ).
Sia:
Δ T ( t ) = d e f ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)} un treno di impulsi e sia:
x q ( t ) = d e f x ( t ) Δ T ( t ) = x ( t ) ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}} la rappresentazione tempo-continua del segnale x [ n ] = d e f x ( n T ) {\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)} x ( t ) {\displaystyle x(t)} x q ( t ) {\displaystyle x_{q}(t)}
X q ( s ) = ∫ 0 − ∞ x q ( t ) e − s t d t = ∫ 0 − ∞ ∑ n = 0 ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) e − s t d t = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] ∫ 0 − ∞ δ ( t − n T ) e − s t d t = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] e − n s T {\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}\end{aligned}}} Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta x [ n ] {\displaystyle x[n]\ }
X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}} con la sostituzione z ← e s T {\displaystyle z\leftarrow e^{sT}}
X q ( s ) = X ( z ) | z = e s T {\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}} Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:
z = e s T = e T σ e j T ω = e T σ e j T ( ω + 2 k π T ) k ∈ R {\displaystyle z=e^{sT}=e^{T\sigma }e^{jT\omega }=e^{T\sigma }e^{jT(\omega +{\frac {2k\pi }{T}})}\qquad k\in \mathbb {R} } L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.
Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti
ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché | z | = e T σ {\displaystyle |z|=e^{T\sigma }} ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra ± j ω s / 2 {\displaystyle \pm j\omega _{s}/2}
Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a δ {\displaystyle \delta } ω {\displaystyle \omega }
Si consideri un segnale tempo-continuo x ( t ) {\displaystyle x(t)}
L { x ( t ) } ≡ X ( s ) ≡ ∫ 0 ∞ x ( t ) e − s t d t {\displaystyle L\{x(t)\}\equiv X(s)\equiv \int _{0}^{\infty }{x(t)e^{-st}dt}} Se x ( t ) {\displaystyle x(t)} x ∗ [ k ] = x ( k T ) {\displaystyle x^{*}[k]=x(kT)}
x ∗ [ k ] = x ( k T ) = ∑ k = 0 ∞ x ( t ) δ ( t − k T ) {\displaystyle x^{*}[k]=x(kT)=\sum _{k=0}^{\infty }{x(t)\delta (t-kT)}} dove T {\displaystyle T}
L { x ( k T ) } = X ∗ ( s ) = ∫ 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ x ( t ) . δ ( t − k T ) e − s t d t = ∑ k = 0 ∞ x ∗ ( k ) . z − k , z = e s T L { x ( k T ) } | s = ln ( z ) T = X ∗ ( s ) | s = ln ( z ) T = Z { x ∗ ( k ) } {\displaystyle {\begin{array}{l l l l l l}L\{x(kT)\}&=&X^{*}(s)&=&\int _{0}^{\infty }{\sum _{k=0}^{\infty }{x(t).\delta (t-kT)}e^{-st}dt}\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }{x^{*}(k).z^{-k}},z=e^{sT}\\\left.L\{x(kT)\}\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&\left.X^{*}(s)\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&Z\{x^{*}(k)\}\end{array}}} La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}} che si ottiene ponendo z = e i ω {\displaystyle z=e^{i\omega }\,} | e i ω | = 1 {\displaystyle |e^{i\omega }|=1\,} piano complesso .
Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:
∑ p = 0 N y [ n − p ] α p = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q {\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\ } dove entrambi i membri possono essere divisi per α 0 {\displaystyle \alpha _{0}\ } α 0 = 1 {\displaystyle \alpha _{0}=1\ }
y [ n ] = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q − ∑ p = 1 N y [ n − p ] α p {\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}} Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale y [ n ] {\displaystyle y[{n}]} y [ n − p ] {\displaystyle y[{n-p}]} x [ n ] {\displaystyle x[{n}]} x [ n − q ] {\displaystyle x[{n-q}]\ }
Y ( z ) ∑ p = 0 N z − p α p = X ( z ) ∑ q = 0 M z − q β q {\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\ } che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento :
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ q = 0 M z − q β q ∑ p = 0 N z − p α p = β 0 + z − 1 β 1 + z − 2 β 2 + ⋯ + z − M β M α 0 + z − 1 α 1 + z − 2 α 2 + ⋯ + z − N α N {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}} Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di H {\displaystyle H} N radici, corrispondenti ai poli di H {\displaystyle H}
H ( z ) = ( 1 − q 1 z − 1 ) ( 1 − q 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − q M z − 1 ) ( 1 − p 1 z − 1 ) ( 1 − p 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − p N z − 1 ) {\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}\ } dove q k {\displaystyle q_{k}\ } p k {\displaystyle p_{k}\ } H ( z ) {\displaystyle H(z)\ } X ( z ) {\displaystyle X(z)\ } Y ( z ) = H ( z ) X ( z ) {\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}
^ E. R. Kanasewich, Time sequence analysis in geophysics ISBN 978-0-88864-074-1 . ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh, The analysis of sampled-data systems , in Trans. Am. Inst. Elec. Eng. , vol. 71, II, 1952, pp. 225-234. ^ Cornelius T. Leondes, Digital control systems implementation and computational techniques ISBN 978-0-12-012779-5 . El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964) Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5 , 445–457 (1999). PDF 
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![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n},\qquad {\mbox{ per }}z\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f48e53526b453b2597358ff24962b3950d5e14)
![{\displaystyle x[n]=f(n\,\tau ),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f30bea0c44775f248f6372ffbd37a217edbfb90)
![{\displaystyle ROC=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\,z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ed5bbb71748c455be44f5cc8488ff2edc7797f)
![{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|x[n]|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4f3bc24da747c9b549a5f578139a7143cb7674)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f6e27003f8c3271124b8af3ea0092c2906ae3e)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,\qquad n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ba050ff0a45b9bb22e551d493d9bcace861c01)
![{\displaystyle x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j}),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9327749af4a08389b63822fdddc96e54d84804a9)
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2954b0389ab96957bccb5a9f89cc7ab4eb51bfed)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e642979d4bbea30a164bd3c3c0478dd4f42c2d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aefa942e18926dd24f0a75ca1f495002704e35f)
![{\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb707cd1570b5004afa6306d8e349d36efffb58)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}\,x_{1}[n]+a_{2}\,x_{2}[n])\,z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}\\&+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}\,X_{1}(z)+a_{2}\,X_{2}(z)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3885ab6e71dae153bba22855f14e9b23cbe26b68)
![{\displaystyle x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9f9952a352bd13efc6e0310e925f44aeced1b5)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}[n]\,z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,z^{-r\,k}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0adc740ce88ca1ce8dcbd143ace7b3c5eb389a34)
![{\displaystyle x[n-k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4fa5b96ade59fee1aa33657f28a6ed743fee0)
![{\displaystyle Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa0de778b9f396d8a7ab2f4d69e4e026f898c38)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef278e01f625d3cfa3b6a84a0d1824592228f62)
![{\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6d5deda0382713e0c5a60145f5cc7bd18440bb)
![{\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59013379113960990910b96410a4a8609687649)
![{\displaystyle x[\beta ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a4d7c548e61faad05d8e4a8234782833fe654e)
![{\displaystyle z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29ec28fbf38d33c495cdfaeb53976857b1462b0)
![{\displaystyle x[n+m]=x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56dd592cf982e0e3f81ad7959fd04b6fd63fd4f)
![{\displaystyle X(z)={\frac {z^{m}}{z^{m}-1}}\,\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {x[k]}{z^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1763cde251f68ad13399c0bee0a7524ac4fe568b)
![{\displaystyle a^{n}x[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654e28509ebf86a5253c1e79e7a6b12fa1087466)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}&\\=X(a^{-1}z)&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b968c04b8900e9e16c42ef0333062c3d385d4523)
![{\displaystyle x[-n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ca1d46f1a6942599a856f413f141deb2ab36cf)
![{\displaystyle x^{*}[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836731dd6ac0987320b601f404492523187f4dec)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{x^{*}(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{*})^{-n}]^{*}\ &\\=[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\ ]^{*}&\\=X^{*}(z^{*})&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c974b68d4c86dd8624f0f5ef6fd71634e789cfac)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c4d81639a0f761dbc7855d7de10d03c2a42d6b)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbea203386496bdc11a51c6f14798cf0b7373ef7)
![{\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaa2a8950fdcb31a68819605c826960e6c48c5c)
![{\displaystyle {\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e00a599cca7e1c1a78f75d7f7710b7474c12da)
![{\displaystyle nx[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9d129545d7bb8f225e3d3d6cf29828055b2aa0)
![{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a88f085e632f498b5ad7cae9fc45379ab931ff7)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}=&\\{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ &\\=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ &\\=[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ &\\=X_{1}(z)X_{2}(z)&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ac821be34871813f81e8a3db121d9082cf83b0)
![{\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3137b2b225055345f857b5fa1262472fef95e7)
![{\displaystyle x[n]-x[n-1]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d1f6e2e3298702699bdb047de5c5241347dca2)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfdbdd32d7420715b393ab382646f76dc6e3dc2)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+\\x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e2696cbdd13918cdaad3b71ec2802b54a2c7fb)
![{\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b8ee2f74b87c0783a1e479136a290c947ff945)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b55a573a79d115fd4d071bd6f6cb3bbf5172a1)
![{\displaystyle x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e74d32b1013c9db6578a43b03066f7dd31202c)
![{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{\mathbb {R} \ni z\rightarrow 1^{+}}(z-1)\,X(z)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd8ebcbfb8751733d33275f22d89e9c6c8bb281)
![{\displaystyle x[n]=(-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d9be209f440459e671fc4a8e221c38142eba41)
![{\displaystyle u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421a23ee8e78e1a635a55f77b90157e36ace10ce)
![{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbd93ec15d6d9070adb434706fe249b5f944bdc)
![{\displaystyle \delta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bf83f188a8d5c544e4565e7690b4029baed424)
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37420bd43ae13a5c7f300b7e74cae6f08d38929a)
![{\displaystyle u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5)
![{\displaystyle \,e^{-\alpha n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4acaa4f561a314f2cb97656a91950895450a99)
![{\displaystyle -u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffe6af41d5e73ca723916ce158e69325ab37f0f)
![{\displaystyle nu[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666189dd08672bcd9366962001fdeb012ef48db6)
![{\displaystyle -nu[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1)
![{\displaystyle n^{2}u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556ff0a974378872385484fbeadf8bee8da04e97)
![{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24)
![{\displaystyle n^{3}u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0458b9d3eaa2c032ea05c85f0b2dc59809e61815)
![{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66cd02f765990cd569d2cc47dd44cc75bfad0a3)
![{\displaystyle a^{n}u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec08f4507612bf171a306727ec543e8b22909a8b)
![{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8f7594a9aa188a37767ad6cbbcd1c932f5408c)
![{\displaystyle na^{n}u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b15d6e4309b253c58fdf105b270217869762ad)
![{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7df946d3646eb5c94313eb414edf4c9070d782)
![{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc9a83f632b9781ec66653e486b9f77fafe3bb0)
![{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85083b09d1b7c73d32bdfcc120bd85c56504b66)
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07538580111cb3bee33a686fa3970039105fee57)
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a4e25fc75ace79158f75ab06339a9b87ce3665)
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a451552ec134261501b282063fca173b531a0ba)
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7ec057f4c8c7c307f3a58a9091e6e03d91f01d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b27ebaf4d92179e6dcc5efded59ebc64119dcb)
![{\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fceb50a7ba61c85d1f433d98c550b2914a82ec07)
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9eb4d86a6798954cac2ecdbb6591f4200daf2c9)
![{\displaystyle x[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7c24b6def2b81698e718925d858188de703d68)
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7e6d1a9bf26a3017c79040c80295cb1f2eaa1)
![{\displaystyle x^{*}[k]=x(kT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e75dd981e1d16d5f188965e1e2ae44fb314447f)
![{\displaystyle x^{*}[k]=x(kT)=\sum _{k=0}^{\infty }{x(t)\delta (t-kT)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1361e7c85dcb90f371ed0d537643afec59f9c0)
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a599aa526823646d32469385b73490b60e28ea7)
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e478e1c9fa81fa1682b9f82793a9bf472e1b98)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221e2d4bb0bfdb2f698248829ffbec63de966a9c)
![{\displaystyle y[{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94386e86382b3896feb59e2e2c827e2d78f4c78a)
![{\displaystyle y[{n-p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f68daf48dd1cba48dfb1fc82df4779f423dfe0b)
![{\displaystyle x[{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5423bc10fa4021579cb06a70c037917e87f6b1c)
![{\displaystyle x[{n-q}]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ca5f7928cadd6c99328a5e7daf623dafb93500)
