Funzione periodica

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Una funzione ${\displaystyle f\colon A\to B}$ definita su un gruppo abeliano ${\displaystyle A}$ è periodica di periodo ${\displaystyle t}$, con ${\displaystyle t\in A}$, se ${\displaystyle f(a+t)=f(a)}$ per ogni ${\displaystyle a\in A}$.

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale ${\displaystyle f\colon A\to B}$ si dice periodica di periodo ${\displaystyle t}$ se esiste un numero reale ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ tale che:

• il dominio ${\displaystyle A}$ è invariante per traslazione di ${\displaystyle t}$, ovvero ${\displaystyle A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A}$;
• la funzione ${\displaystyle f}$ è invariante per traslazione di ${\displaystyle t}$, ovvero per ogni ${\displaystyle a\in A}$ si ha ${\displaystyle f(a+t)=f(a)}$.

Se ${\displaystyle f}$ è periodica di periodo ${\displaystyle t_{1}}$ ed è periodica di periodo ${\displaystyle t_{2}}$, allora è periodica di ogni periodo

${\displaystyle t\in t_{1}\mathbb {Z} +t_{2}\mathbb {Z} =\{mt_{1}+nt_{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$.

L'insieme ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}}$ dei periodi ${\displaystyle t}$ di ${\displaystyle f}$ è quindi uno ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo.

• Se ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}=\{0\}}$, ovvero se ${\displaystyle f}$ ha il solo periodo ${\displaystyle 0}$, allora ${\displaystyle f}$ è detta aperiodica.
• Se ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}}$ è un modulo libero di dimensione ${\displaystyle 1}$, ovvero se ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}=t\mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle t>0}$, ovvero se esiste un minimo tra i periodi ${\displaystyle t>0}$, allora ${\displaystyle f}$ è detta periodica di periodo minimo ${\displaystyle t}$, o periodica di periodo ${\displaystyle t}$ in senso stretto.
• Il modulo ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}}$ non è necessariamente libero di dimensione ${\displaystyle 0}$ o ${\displaystyle 1}$, ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}=\mathbb {Q} }$ e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo ${\displaystyle [0,1)}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon [0,1[&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x,\end{aligned}}}$

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x-[x].\end{aligned}}}$

• Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo ${\displaystyle 2\pi }$.
• Sono quindi automaticamente periodiche le funzioni:
  • ${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$ e ${\displaystyle \cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}}$, che hanno periodo minimo ${\displaystyle \pi }$;
  • ${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}$ e ${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}$, che hanno periodo minimo ${\displaystyle 2\pi }$.

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé, ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$;

è periodica rispetto a due periodi, ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} ^{\ast },\ \forall z\in \mathbb {C} \ f(z+\omega _{1})=f(z+\omega _{2})=f(z)}$;

questi due periodi sono "incommensurabili", ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}\not \in \mathbb {R} .}$

• Periodicità
• Ampiezza
• Frequenza
• Lunghezza d'onda
• Oscillazione
• Sviluppo in serie di Fourier
• Funzione ellittica
• Periodo (teoria dei numeri)

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «funzione periodica»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione periodica

• (EN) periodic function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione periodica, su MathWorld, Wolfram Research.

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