Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una ${\displaystyle n}$-varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, una forma differenziale ${\displaystyle \omega }$ ha una dimensione ${\displaystyle k}$ minore o uguale a ${\displaystyle n}$. Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come ${\displaystyle k}$-forma. Nel caso ${\displaystyle k=0}$, la forma ${\displaystyle \omega }$ è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza ${\displaystyle \omega }$ è la possibilità di effettuare l'integrale di ${\displaystyle \omega }$ su un qualsiasi oggetto geometrico ${\displaystyle \Gamma }$, di analoga dimensione ${\displaystyle k}$, di una generica ${\displaystyle n}$-varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con

${\displaystyle \int _{\Gamma }\omega }$

Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Sia ${\displaystyle A}$ un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Sia ${\displaystyle k}$ un intero con

${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n.}$

Una ${\displaystyle k}$-forma differenziale è una scrittura del tipo:^[1]

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$

dove

${\displaystyle a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}:A\to \mathbb {R} }$

è una funzione differenziabile e:

${\displaystyle \wedge }$

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale ${\displaystyle \times }$, che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà. In particolare, il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte, per brevità, i simboli ${\displaystyle \wedge }$ sono omessi.

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su ${\displaystyle A}$.
Una 1-forma in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si scrive come

${\displaystyle \omega =a_{1}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}+\ldots +a_{n}(x_{1},...,x_{n})dx_{n},\,\!}$

dove le ${\displaystyle a_{i}}$ sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

${\displaystyle \omega _{1}=2dx-3dy,\quad \omega _{2}=e^{x}dx,\quad \omega _{3}=xydx-y^{2}dy.}$

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ si scrive come

${\displaystyle \omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.}$

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle \omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.}$

In generale una ${\displaystyle n}$-forma su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si scrive sempre usando un unico addendo

${\displaystyle \omega =a(x_{1},...,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}$

dove ${\displaystyle a(x_{1},...,x_{n})}$ è una funzione differenziabile.

Una ${\displaystyle k}$-forma è una sezione liscia della ${\displaystyle k}$-esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \omega :M\rightarrow \Lambda ^{k}(T^{*}(M)).}$

In altre parole, per ogni punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle M}$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

${\displaystyle \omega (x)\colon \underbrace {T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M} _{k}\to \mathbb {R} }$

dove ${\displaystyle T_{x}M}$ è lo spazio tangente a ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle x}$. La funzione ${\displaystyle \omega (x)}$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di ${\displaystyle x}$. Equivalentemente, ${\displaystyle \omega }$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle M}$ un tensore antisimmetrico di tipo ${\displaystyle (0,k)}$.

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo ${\displaystyle (0,1)}$, cioè una sezione del fibrato cotangente.

Se ${\displaystyle M}$ è un insieme aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, in ogni punto lo spazio tangente ${\displaystyle T_{x}(M)}$ è identificato con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La base canonica per ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale ${\displaystyle \Lambda ^{k}((\mathbb {R} ^{n})^{*})}$ del tipo

${\displaystyle {\mathcal {B}}={\big \{}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\ |\ 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n{\big \}}}$

dove l'elemento ${\displaystyle dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento ${\displaystyle \omega (x)}$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$

tramite dei coefficienti

${\displaystyle a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)}$

che variano in modo liscio rispetto a ${\displaystyle x}$. La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se ${\displaystyle k=1}$ allora

${\displaystyle \Lambda ^{1}((\mathbb {R} ^{n})^{*})=(\mathbb {R} ^{n})^{*}}$

è lo spazio duale dei funzionali lineari su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ è la base duale ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto ${\displaystyle x}$ un funzionale lineare.

Se ${\displaystyle M}$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto ${\displaystyle x}$, ogni ${\displaystyle k}$-forma ${\displaystyle \omega }$ è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Due ${\displaystyle k}$-forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova ${\displaystyle k}$-forma. Una ${\displaystyle k}$-forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle ${\displaystyle k}$-forme su un aperto ${\displaystyle A}$ forma uno spazio vettoriale.

Il prodotto esterno

${\displaystyle \omega \wedge \eta }$

di una ${\displaystyle k}$-forma ${\displaystyle \omega }$ e di una ${\displaystyle h}$-forma ${\displaystyle \eta }$ è una ${\displaystyle (k+h)}$-forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}\,\forall i,\,j}$

La proprietà anticommutativa implica che

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=0.}$

I coefficienti dei ${\displaystyle dx_{i}}$ però commutano fra loro e con i ${\displaystyle dx_{i}}$. Ad esempio, se

${\displaystyle \omega =xdy-ydx,\quad \eta =xdx\wedge dz}$

sono una 1-forma e una 2-forma su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, il loro prodotto esterno è

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.}$

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui ${\displaystyle \omega }$ e ${\displaystyle \eta }$ siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale ${\displaystyle \otimes }$, ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui ${\displaystyle \omega }$ e ${\displaystyle \eta }$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {1}{2}}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).}$

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

${\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{k}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\omega _{\sigma 1}\otimes \dots \otimes \omega _{\sigma k}.}$

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

${\displaystyle h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.}$

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle h}$, con un segno che però dipende dal prodotto ${\displaystyle kh}$:

${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{kh}g\wedge f.}$

La derivata di una ${\displaystyle k}$-forma è una ${\displaystyle (k+1)}$-forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna ${\displaystyle d\omega }$ di una ${\displaystyle k}$-forma differenziale

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$

è la ${\displaystyle (k+1)}$-forma^[2]

${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}(x)dx_{i}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.}$

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è un'operazione lineare. In altre parole,

${\displaystyle d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu }$

dove però ${\displaystyle a,b}$ sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta ).}$

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

${\displaystyle d^{2}=0}$

che segue dal teorema di Schwarz.

Una forma differenziale ${\displaystyle \omega }$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

${\displaystyle d\omega =0}$

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una ${\displaystyle k}$-forma ${\displaystyle \omega }$ è invece esatta se esiste una ${\displaystyle (k-1)}$-forma ${\displaystyle \eta }$ tale che

${\displaystyle d\eta =\omega .}$

La forma ${\displaystyle \eta }$ è detta primitiva di ${\displaystyle \omega }$.

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché ${\displaystyle d^{2}\eta =0}$, ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto ${\displaystyle A}$ di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su ${\displaystyle X}$ è una forma differenziale esatta per ogni intero ${\displaystyle p>0}$.

Una 1-forma differenziale

${\displaystyle \omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},}$

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

${\displaystyle {\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}}$

per ogni ${\displaystyle i,j}$.

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto ${\displaystyle A}$). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto ${\displaystyle A}$, ovvero dalla sua topologia.

Se ${\displaystyle A}$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se ${\displaystyle A}$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

${\displaystyle \omega ={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy}$

definita nell'aperto del piano

${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$

è chiusa ma non esatta. L'aperto ${\displaystyle A}$ non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Questa forma è nota come "vortice", per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Le 1-forme nel piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con il piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$, è possibile definire una 1-forma complessa

${\displaystyle f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy}$

a partire da una qualsiasi funzione

${\displaystyle f:A\to \mathbb {C} .}$

definita su un aperto ${\displaystyle A}$ del piano complesso. Si tratta di un'usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se ${\displaystyle f}$ è una funzione olomorfa su un aperto ${\displaystyle A}$ del piano, allora la forma ${\displaystyle f(z)dz}$ risulta essere chiusa. Inoltre ${\displaystyle f(z)dz}$ è esatta con primitiva ${\displaystyle g(z)}$ se e solo se ${\displaystyle g(z)}$ è anch'essa olomorfa con derivata complessa ${\displaystyle g'(z)=f(z)}$ pari a ${\displaystyle f(z)}$.

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}dz}$

definita sull'aperto

${\displaystyle A=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

è chiusa (perché ${\displaystyle 1/z}$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione ${\displaystyle 1/z}$ non ammette infatti una primitiva su tutto ${\displaystyle A}$, ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di ${\displaystyle 1/z}$, può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

${\displaystyle f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2}}}dy=}$

${\displaystyle =\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]}$

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di ${\displaystyle f(z)dz}$.

La proprietà più importante che caratterizza una ${\displaystyle k}$-forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile ${\displaystyle S}$ di dimensione ${\displaystyle k}$ dell'aperto ${\displaystyle A}$ su cui è definita. L'integrale di ${\displaystyle \omega }$ è indicato con il simbolo

${\displaystyle \int _{S}\omega }$

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se ${\displaystyle k=0}$, la forma è una funzione, ${\displaystyle S}$ è un'unione di punti e l'integrale di ${\displaystyle \omega }$ su ${\displaystyle S}$ è semplicemente la somma dei valori di ${\displaystyle f}$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

${\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$

Se ${\displaystyle S}$ ha una parametrizzazione del tipo

${\displaystyle S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))}$

con ${\displaystyle u}$ variabile in un dominio ${\displaystyle D}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, l'integrale è definito come^[1]

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S(u)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}}$

dove

${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}}$

è il determinante dello jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare un'orientazione su ${\displaystyle S}$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà ${\displaystyle S}$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), l'integrale su ${\displaystyle S}$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono ${\displaystyle S}$ a meno di un insieme di misura nulla.

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

${\displaystyle \int _{S_{1}\sqcup S_{2}}\omega =\int _{S_{1}}\omega +\int _{S_{2}}\omega .\,\!}$

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti ${\displaystyle a,b}$ sono costanti):

${\displaystyle \int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .}$

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:^[3]

${\displaystyle \int _{-S}=-\int _{S}.\,\!}$

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se ${\displaystyle \omega }$ è una ${\displaystyle (n-1)}$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta ${\displaystyle M}$, vale la relazione

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una ${\displaystyle k}$-forma esatta su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Una 1-forma ${\displaystyle \omega }$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva ${\displaystyle \gamma }$. L'integrale di ${\displaystyle \omega }$ lungo ${\displaystyle \gamma }$ può essere calcolato con la formula seguente:

${\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt}$

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto ${\displaystyle A}$ sia contenuto nel piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la forma è del tipo

${\displaystyle \omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy}$

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

${\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}[a(x(t),y(t)\cdot x^{\prime }(t)+b(x(t),y(t))\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt}$

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

• Se ${\displaystyle \omega }$ è esatta, l'integrale di ${\displaystyle \omega }$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
• Conseguentemente, se ${\displaystyle \omega }$ è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione ${\displaystyle 1/z}$ su ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ non è esatta, poiché

${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}=2\pi i}$

per ogni curva ${\displaystyle \gamma }$ avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

• Derivata
• Integrale
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• Integrale di linea
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