In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.
Sia una funzione in due variabili, definita su un aperto del piano . Se ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se , allora queste coincidono in ogni punto , ovvero:
In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.
Come conseguenza, se una funzione ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.
Sia . Si scelgono due reali , tali che . Ciò è possibile, poiché è un aperto di .
Si definiscono due funzioni e come segue:
in modo che:
Si prova facilmente che, fissati e nei rispettivi intervalli:
Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:
e analogamente:
con e , dove per comodità di scrittura si sono assunti .
Facendo tendere e a (e quindi anche e ), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha , cioè la tesi.
Sia:
Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :
queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:
Quindi .
L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente.[1] Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:
Si hanno derivate parziali prime continue:
Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:
Dunque .
- ^ Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms (5th ed.), p. 732–733.
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, 1996, ISBN 8820726750.
- (EN) H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (PDF), World Scientific, 2008, ISBN 978-981-279-170-2.