Successione di Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola ${\displaystyle \varepsilon >0}$, da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad ${\displaystyle \varepsilon }$ . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Si definisce successione di Cauchy una successione ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ a valori in uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$ tale che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle N(\varepsilon )=N}$ tale che per tutti gli ${\displaystyle m,n\geq N}$ si verifica:^[1]

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio ${\displaystyle X}$ tra due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in ${\displaystyle X}$ è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\to x}$. Poiché essa converge, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un indice ${\displaystyle N}$ tale per cui:

${\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad \forall n>N}$

Considerando allora ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ maggiori di ${\displaystyle N}$ si ha:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$ hanno un limite in ${\displaystyle X}$, allora ${\displaystyle (X,d)}$ viene chiamato spazio metrico completo.^[2] Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo. Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata; e se una successione di Cauchy tende a un limite ${\displaystyle L}$ ogni sua sottosuccessione tende a ${\displaystyle L}$.

Si dice diametro di un certo insieme ${\displaystyle E}$ in uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$ l'estremo superiore:

${\displaystyle \sup _{p,q\in E}\,d(p,q)}$

e si indica con:

${\displaystyle {\mbox{diam }}E}$

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Sia ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ una successione di Cauchy in ${\displaystyle (X,d)}$. Allora ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ è limitata in ${\displaystyle X}$.

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle N(\varepsilon )=N}$ tale che:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon \qquad \forall \,m,n\geq N}$

e dunque esiste ${\displaystyle N_{*}}$ che soddisfa:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<1\qquad \forall \,m,n\geq N_{*}}$

da cui:

${\displaystyle d(x_{n},x_{N_{*}})<1\qquad \forall n\geq N_{*}}$

Sia:

${\displaystyle r=\max\{1,d(x_{1},x_{N_{*}}),d(x_{2},x_{N_{*}}),\dots ,d(x_{N_{*}-1},x_{N_{*}})\}}$

Allora:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N*})+d(x_{m},x_{N*})\leq r+r=2r\qquad \forall n,m}$

Perciò ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ è limitata.

Sia ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ convergente. Allora ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ si può trovare ${\displaystyle N(\varepsilon )=N}$ tale che esiste ${\displaystyle p}$ che soddisfa:

${\displaystyle d(p_{n},p)<\varepsilon \qquad \forall n\geq N}$

Dunque esiste un indice di successione ${\displaystyle m\geq n}$ per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

${\displaystyle d(p_{n},p_{m})\leq d(p_{m},p)+d(p,p_{n})<2\,\varepsilon }$

Per cui il teorema è dimostrato.

Sia ${\displaystyle (X,d)}$, con ${\displaystyle X}$ compatto e ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ una successione di Cauchy in ${\displaystyle X}$. Allora ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ converge a qualche punto di ${\displaystyle X}$.

Infatti, sia, come da enunciato, ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ una successione di Cauchy. Per ogni ${\displaystyle N}$ numero naturale, si costruisca ${\displaystyle E_{N}}$ nel seguente modo:

${\displaystyle E_{N}\,:=\,\{p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\dots \}}$

${\displaystyle {\overline {E}}_{N}\subset X\qquad \forall \,N}$

dove ${\displaystyle {\overline {E}}}$ è la chiusura di ${\displaystyle E}$ (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\!{\mbox{diam }}{\overline {E}}_{N}=0}$

Inoltre:

${\displaystyle E_{N}\supset E_{N+1}}$

che implica:

${\displaystyle {\overline {E}}_{N}\supset {\overline {E}}_{N+1}}$

e quindi esiste un unico ${\displaystyle p}$ tale che ${\displaystyle p\in X}$ per ogni ${\displaystyle N}$. A questo punto, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ tale per cui:

${\displaystyle {\mbox{diam}}\,{\overline {E}}_{N}<\varepsilon \qquad \forall \,N\geq {\tilde {N}}}$

da cui:

${\displaystyle d(p,q)<\varepsilon \qquad \forall \,q\in {\overline {E}}_{N}}$

che implica:

${\displaystyle d(p,p_{n})<\varepsilon \qquad \forall n\geq {\tilde {N}}}$

il che significa ${\displaystyle p_{n}\to p}$, ovvero la successione converge.

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, sia come per il teorema precedente:

${\displaystyle E_{N}\,:=\,\{x_{N},x_{N+1},x_{N+2},\dots \}}$

Allora è possibile costruire per qualche ${\displaystyle N}$ un ${\displaystyle E_{N}}$ tale che ${\displaystyle {\mbox{diam}}\,E_{n}<1}$. Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme ${\displaystyle \{x_{1},...,x_{N-1}\}\,}$, e dall'altra c'è ${\displaystyle E_{N}}$. Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$.

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

${\displaystyle x_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$

dove ${\displaystyle F_{n}}$ sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica ${\displaystyle x^{2}=x+1}$, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

• (EN) Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2nd ed., San Diego, California, Academic Press, 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, New York, McGraw-Hill, Inc., 1953, ISBN 88-386-0647-1.

• Convergenza
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Distanza (matematica)
• Limite di una successione
• Sottosuccessione
• Spazio metrico completo
• Successione (matematica)

• Wikiversità contiene risorse sulla successione di Cauchy

• (EN) Cauchy sequence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Successione di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Successione di Cauchy, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Denis Howe, Cauchy sequence, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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