マンハッタン距離

マンハッタン距離（マンハッタンきょり、Manhattan distance）またはL₁-距離は、幾何学における距離概念の一つ。各座標の差（の絶対値）の総和を2点間の距離とする。

ユークリッド幾何学における通常の距離（ユークリッド距離）に代わり、この距離概念を用いた幾何学はタクシー幾何学 (taxicab geometry) と呼ばれる。19世紀にヘルマン・ミンコフスキーによって考案された。

より形式的には、2点間の距離を直交する座標軸に沿って測定することで一般の ${\displaystyle n}$ 次元空間においてマンハッタン距離 ${\displaystyle d_{1}}$ が定義される。

${\displaystyle d_{1}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}):=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}|x_{k}-y_{k}|.}$

ただし、${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}:=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})}$ とおいた。例えば、平面上において座標 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ に置かれた点 ${\displaystyle P_{1}}$ と、座標 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ に置かれた点 ${\displaystyle P_{2}}$ 間のマンハッタン距離は

${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$

となる。

マンハッタン距離は、都市ブロック距離（city block distance, 市街地距離）としても知られている。マンハッタン距離の名は、マンハッタンのような正方形のブロックに区分された都市で、自動車が運転される距離に由来する。ある角から東に 3 ブロック、北に 6 ブロックの位置にある角まで移動するには、いかなる経路を辿っても最低 9 ブロックを通過せねばならない。

チェスでは、ルークにとってのマス間の距離はマンハッタン距離によって測られる（キング・クイーンやビショップはチェビシェフ距離を用いる）。

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