ラプラス＝スティルチェス変換

ラプラス＝スティルチェス変換（ラプラス＝スティルチェスへんかん、英語: Laplace–Stieltjes transform）は、ラプラス変換に類似した変換である。ピエール＝シモン・ラプラスとトーマス・スティルチェスにちなんで命名された。関数解析、基礎および応用確率論を含む多くの数学分野で活用されている。

定義

ある関数 g: R→Rに対するラプラス＝スティルチェス変換 $\{{\mathcal {L}}^{*}g\}$ は、

\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-sx}\,dg(x),\quad s\in \mathbb {C}

と定義される。ただし右辺のルベーグ＝スティルチェス積分が存在する必要がある。

しばしばsは実数であり、また正の半直線上でのみ定義される関数（すなわちg: [0,∞) → R）のみ扱うような場合もある。このようなときは、上記の積分は0から∞の範囲となる。

ラプラス＝スティルチェス変換は、その性質の多くがラプラス変換と共通である。

たとえば畳み込みについては、2つの写像 g と h についてそれぞれラプラス＝スティルチェス変換が存在するとき、以下の性質が成り立つ。

\{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s)

ラプラス＝スティルチェス変換は基礎確率論および応用確率論において、しばしば有用である。たとえば、確率分布 F に従う確率変数 X に対して、ラプラス＝スティルチェス変換は期待値との関連で説明される。

\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[\mathrm {e} ^{-sX}\right]

具体的な応用例としては、マルコフ連鎖のような確率過程の初到達時刻(first passage time)や、再生理論などが挙げられる。物理学においては、たとえば場の量子論での和をゼータ関数正則化の手法によって正則化する際に、ラプラス＝スティルチェス変換が用いられることがある。

ラプラス＝スティルチェス変換は、他の積分変換（たとえばフーリエ変換やラプラス変換）と密接な関係がある。特に以下の点に注意する。

関数 g が導関数 g' を持つとき、gのラプラス＝スティルチェス変換は g' のラプラス変換に等しい。
$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}g'\}(s)$
関数 g のフーリエ＝スティルチェス変換（これは上記と同様、g' のフーリエ変換と一致する）は以下のように与えられる。
$\{{\mathcal {F}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(\mathrm {i} s),\quad s\in \mathbb {R}$

指数分布に従う確率変数 Y に関するラプラス＝スティルチェス変換は以下の通り。

{\tilde {F}}_{Y}(s)=f_{Y}^{*}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {\lambda }{\lambda +s}}

ラプラス＝スティルチェス変換に関する、よく知られた文献には以下のようなものがある。

Apostol, T.M. (1957). Mathematical Analysis. Addison-Wesley, Reading, MA. (For 1974 2nd ed, ISBN 0-201-00288-4).
Apostol, T.M. (1997). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0.

確率論およびその応用との関連では、次の文献が参考になる。

Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R. (2001). Probability and Random Processes, 3rd ed. Oxford University Press, Oxford. ISBN 0-19-857222-0.