確率過程

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確率論において、確率過程（かくりつかてい、英語: stochastic process）は、時間など，条件によって変化する確率変数の数理モデルである。株価や為替の変動、ブラウン運動などの粒子のランダムな運動を数学的に記述する模型（モデル）として利用している。不規則過程（英語: random process）とも言う^[1]。

確率過程からのサンプリングで得られる系列（実現値）を見本関数^[2]（見本過程^[3]、経路/パス^[2]）という。

まず、時間のように一次元的なパラメタによって変化する確率変数を考えよう。

確率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$・可測空間 (S, Σ)・全順序集合 T が与えられたとする。

時刻 T で添字つけられる状態空間 S に値をとる確率過程 X_t とは

${\displaystyle X\colon \Omega \times T\to S}$

であり、すべての t ∈ T に対してX_t がΩ 上の確率変数となるものである。換言すれば、ある確率空間で定義された確率変数の族

${\displaystyle \{X(\omega ,t)|t\in T\}}$

が確率過程である^[4]。

普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ や整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ を考える。

X を S に値をとる確率過程とする。すべての有限列 ${\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}$ について、k-タプル ${\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}$ は S^k を値にとる確率変数となる。この確率変数の分布 ${\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}$ は S^k 上の確率測度となる。このようにして得られる分布を X の有限次元分布という。

適切な位相的な制約を加えることで、有限次元分布の「一貫した」集まりを得られる。これを用いて、ある種の確率過程を定義することができる。(例えば、コルモゴロフの拡張。）

ブラウン運動の数学的モデルはウィーナー過程である。連続時間でユークリッド空間に値をとる確率過程の典型例である。ウィーナー過程以外に、独立増分過程（レヴィ過程）、ガウス過程、マルチンゲール、マルコフ過程、マルコフ連鎖、定常過程といった確率過程がある^[5]。

• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。 NCID BN06109416。全国書誌番号:46035343。 
• 日本数学会『数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年。ISBN 978-4-00-080309-0。 

• 小倉久直：「物理・工学のための 確率過程論」、コロナ社 (1978年4月20日)。
• 情報理論とその応用学会（編)：「確率過程：応用と話題」、培風館、4-563-01452-4 (1994年6月30日)。
• D.ウィリアムズ：「マルチンゲールによる確率論」、培風館、ISBN 4-563-00885-0 (2004年2月20日)。
• 伊藤清：「確率過程」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005200-9 (2007年3月20日)。
• 森真：「入門 確率解析とルベーグ積分」、東京図書、ISBN 978-4-489-02129-9 (2012年6月25日)。
• 谷口説男、松本裕行：「確率解析」、培風館（確率論教程シリーズ5）、ISBN 978-4-563-01085-0 (2013年6月5日)。
• 成田清正：「確率解析への誘い：確率微分方程式の基礎と応用」、共立出版、ISBN 978-4-320-11143-1（2016年9月25日）。

• ブラウン運動
• 確率微分方程式
• 伊藤過程
• ブラック-ショールズ方程式
• MCMC
• R言語 - 複雑な確率過程モデルを簡潔に記述できるフリーの統計解析環境。
• GNU Octave - 信号処理等も得意とするフリーのmatlabに似た数値計算言語。
• Scilab - INRIAによるmatlab風な数値計算言語。

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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