モーメント (確率論)

この項目では、確率論のモーメントについて説明しています。数学のモーメントについては「モーメント (数学)」を、物理量のモーメントについては「モーメント」をご覧ください。

確率論や統計学におけるモーメント（英: moment）または積率（せきりつ）とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。

X を確率変数、α を定数としたときに、α に関するn次モーメント (n-th order moment) は次で定義される。

${\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }$

ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。

X が離散型の場合は、

${\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\alpha )^{n}\Pr(X=x_{i})}$

ここで x₁, x₂, … は確率変数 X の実現値である。

X が連続型の場合は、

${\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }(x-\alpha )^{n}p(x)\,dx}$

ここで p(x) は確率変数 X の確率密度関数である。

特に α = 0 の場合に、モーメントは m_n と記される。

${\displaystyle m_{n}=\langle X^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }$

期待値 μ は 1次のモーメント m₁ に等しい。分散 σ² は これと2次のモーメント、つまり m₁, m₂ を用いて表すことができる。すなわち、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=m_{1},\\\sigma ^{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}.\end{aligned}}}$

m₁ に関する n 次モーメントを μ_n で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。

${\displaystyle \mu _{n}=\langle (X-m_{1})^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }$

ここで、2次の中心モーメント μ₂ は分散と一致する。

一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{x^{2}+1}}}$

において、モーメントは全て無限大に発散する^[1]。

確率変数 X の積率母関数を次の式で定義する：

${\displaystyle {\begin{aligned}M(\xi )&:=\langle e^{\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}$

その級数表示

${\displaystyle M(\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}\xi ^{n}}$

においては、ξ の n 次の項の係数部分に n 次のモーメント m_n = ⟨Xⁿ⟩ が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。

${\displaystyle m_{n}={\frac {d^{n}M(\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}$

確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\xi )&:=\langle e^{i\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}$

特性関数についても、その級数表示において、n 次のモーメントは ξ の n 次の項の係数に現れる。

${\displaystyle \Phi (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}(i\xi )^{n}}$

この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。

${\displaystyle m_{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {d^{n}\Phi (\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}$

n 次のキュムラントは、n 次以下のモーメントで表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=m_{1}\\c_{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}\\c_{3}&=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2{m_{1}}^{3}\\c_{4}&=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3{m_{2}}^{2}+12m_{2}{m_{1}}^{2}-6{m_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}$

逆に、n 次のモーメントは、n 次以下のキュムラントで表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=c_{1}\\m_{2}&=c_{2}+{c_{1}}^{2}\\m_{3}&=c_{3}+3c_{1}c_{2}+{c_{1}}^{3}\\m_{4}&=c_{4}+3{c_{2}}^{2}+4c_{1}c_{3}+6{c_{1}}^{2}c_{2}+{c_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}$

確率質量関数が

${\displaystyle P(x=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$

で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\lambda \\m_{2}&=\lambda ^{2}+\lambda \\m_{3}&=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda \\&\vdots \end{aligned}}}$

確率密度関数が

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left({-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)}$

で与えられる正規分布において、n 次の中心モーメントは n が奇数のときは 0 で、偶数のときのみ 0 でない値をとる。

${\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}0&(n:{\text{odd}})\\(n-1)!!~\sigma ^{n}&(n:{\text{even}})\end{cases}}}$

n!! は二重階乗。

• 添田喬、太田光雄、大松繁『数理統計の基礎と応用』日新出版 (2000),　ISBN 978-4817301079

• モーメント (数学)（より一般的なモーメントの定義）
• 階乗モーメント（英語版）（特に非負整数値の確率変数で重宝する）

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
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