Ugarte speelde in de jeugd van City Park en werd in 2015 opgenomen in de opleiding van Fénix. Bij deze club werd hij op vijftienjarige leeftijd overgeheveld naar het eerste elftal. Zijn professionele debuut maakte hij op 4 december 2016, toen in de Primera División met 4–1 gewonnen werd van Danubio. Ugarte mocht zeven minuten voor tijd invallen en werd met vijftien jaar en tweehonderddrieëndertig dagen oud de jongste profvoetballer in Uruguay in de eenentwintigste eeuw.[1] In 2017 kwam hij helemaal niet in actie en het jaar erop in één competitieduel. Vanaf 2019 speelde Ugarte een belangrijkere rol voor Fénix. In januari 2021 nam Famalicão hem over voor circa vier miljoen euro.[2] Hij speelde een half seizoen voor die club, voor hij overgenomen werd door competitiegenoot Sporting CP. Die club betaalde circa tienenhalf miljoen euro voor zijn diensten en hij zette zijn handtekening onder een verbintenis voor de duur van vijf seizoenen.[3] Na twee seizoenen in Lissabon nam Paris Saint-Germain de Uruguayaan over voor circa zestig miljoen euro. Hij tekende voor vijf jaar bij de regerend landskampioen van Frankrijk.[4]