Argument główny liczby zespolonej Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie . Dla każdego punktu na płaszczyźnie arg {\displaystyle \arg } jest funkcją, która zwraca kąt φ . Dwie opcje argumentu φ Główną wartością arg {\displaystyle \arg } niebieskiego punktu 1 + i {\displaystyle 1+i} jest π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z {\displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg ( z ) . {\displaystyle {\mbox{arg}}(z).}
Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność 2 π . {\displaystyle 2\pi .} Argument sprowadzony do przedziału [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} [1] [2] [3] , lub ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} [4] [5] , nazywa się argumentem głównym . Oznaczenie: Arg ( z ) . {\displaystyle {\mbox{Arg}}(z).}
Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej[6] :
a + b i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , {\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi ),} gdzie r = a 2 + b 2 = | z | {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|} jest modułem liczby zespolonej , a ϕ {\displaystyle \phi } jej argumentem.
Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:
φ = { arctg ( b a ) , gdy a > 0 arctg ( b a ) + π , gdy a < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}} Dla liczb urojonych, z = b i : {\displaystyle z=bi{:}}
φ = { 1 2 π , gdy b > 0 − 1 2 π , gdy b < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}} Dla liczby z = 0 , {\displaystyle z=0,} argument jest nieokreślony.
Niech a + b i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) {\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )} oraz niech c + d i = ρ ( cos ψ + i sin ψ ) , {\displaystyle c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi ),} wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:
( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = r ⋅ ρ ( cos ( ϕ + ψ ) + i sin ( ϕ + ψ ) ) {\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))} a + b i c + d i = r ρ ( cos ( ϕ − ψ ) + i sin ( ϕ − ψ ) ) {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))} ↑ Andrzej Mostowski , Marceli Stark , Elementy algebry wyższej . ↑ Bogdan Miś , Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki . ↑ Reinhardt, Soeder, Atlas matematyki . ↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Complex Argument , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang. ) . ↑ Encyklopedia szkolna – Matematyka . ↑ argument liczby zespolonej , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-10] .