Abraham de Moivre Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci
z = | z | ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )} (1) Jeżeli n {\displaystyle n} jest liczbą całkowitą, to n -tą potęgę liczby z określa wzór[1] :
z n = | z | n ( cos n φ + i sin n φ ) . {\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).} (2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci 1/n, to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków n -tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie jak dla liczb rzeczywistych), przy czym w dziedzinie liczb zespolonych każda liczba z ma n pierwiastków stopnia n -tego. Określa je wzór:
z ( k ) 1 n = | z | 1 n [ cos ( φ + 2 k π n ) + i sin ( φ + 2 k π n ) ] , {\displaystyle z_{(k)}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\tfrac {1}{n}}{\Big [}\cos {\Big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}{\Big )}{\Big ]},} k ∈ { 0 , … , n − 1 } {\displaystyle k\in \{0,\dots ,n-1\}} . Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2] . Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska[3] .
Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a [ edytuj | edytuj kod ] W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:
z = | z | ⋅ e i ϕ {\displaystyle z=|z|\cdot e^{i\phi }} - postać wykładnicza liczby zespolonej, z n = | z | n ⋅ e i n ϕ {\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\cdot e^{in\phi }} - potęga n -ta liczby zespolonej, z ( k ) 1 n = | z | n ⋅ e i ( ϕ + 2 π ⋅ k ) / n , k ∈ { 0 , 1 , 2 , … , n − 1 } {\displaystyle z_{(k)}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot k)/n},\ k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}} - pierwiastki n -te liczby zespolonej. Dla n = 1 {\displaystyle n=1} wzór jest oczywisty.
Niech wzór jest prawdziwy dla n = k , {\displaystyle n=k,} tzn.
z k = | z | k ( cos k φ + i sin k φ ) . {\displaystyle z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).} Wówczas dla n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} dostaniemy
z k + 1 = z k z = | z | k ( cos k φ + i sin k φ ) ⋅ | z | ( cos φ + i sin φ ) = | z | k + 1 ( cos k φ cos φ + i cos k φ sin φ + i sin k φ cos φ − sin k φ sin φ ) = | z | k + 1 ( cos k φ cos φ − sin k φ sin φ + i ( sin k φ cos φ + cos k φ sin φ ) ) = | z | k + 1 ( cos ( k + 1 ) φ + i sin ( k + 1 ) φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}} Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego n . {\displaystyle n.}
Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych :
z − n = ( z − 1 ) n = ( z ¯ | z | 2 ) n = | z | n ( cos φ − i sin φ ) n | z | 2 n = | z | − n ( cos ( − n φ ) + i sin ( − n φ ) ) . {\displaystyle z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.} Zespolony pierwiastek n -tego stopnia z 1 [ edytuj | edytuj kod ] Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków stopnia n-tego
1 ( k ) 1 n = 1 n ( k ) = cos 2 k π n + i sin 2 k π n , k ∈ { 0 , … , n − 1 } . {\displaystyle 1_{(k)}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}_{(k)}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.} Interpretacja pierwiastków zespolonych z 1 n {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}} w płaszczyźnie zespolonej [ edytuj | edytuj kod ] Pierwiastki 5-tego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej Jeżeli liczbę zespoloną z {\displaystyle z} zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej , to pierwiastek n -tego stopnia z 1 n {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}} z liczby z = | z | ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )} jest zbiorem n {\displaystyle n} wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt Δ α = 2 π / n {\displaystyle \Delta \alpha =2\pi /n} na okręgu o środku w punkcie ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} i promieniu R = | z | 1 / n {\displaystyle R=|z|^{1/n}} , przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem ϕ 0 = ϕ / n {\displaystyle \phi _{0}=\phi /n} .
Np. Pierwiastki 5-tego stopnia z liczby z = 1 {\displaystyle z=1} układają się na okręgu o promieniu R = 1 {\displaystyle R=1} , Δ α = 2 π / 5 = 72 0 {\displaystyle \Delta \alpha =2\pi /5=72^{0}} , ϕ 0 = ϕ / n = 0 , {\displaystyle \phi _{0}=\phi /n=0,} (gdyż ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} , | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} ).