Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow[1], a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow[2] jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.
Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać[2]:
![{\displaystyle f(k,l)=\left(\alpha k^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}+\beta l^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69f28cb4110833a4bd21ef03b29176d172f1236)
gdzie:
są większe od 0,
– kapitał,
– praca,
– elastyczność substytucji,
co jest równoznaczne z zapisem:
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(\alpha {x_{1}}^{\rho }+\beta {x_{2}}^{\rho })^{\frac {\gamma }{\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b82fbb62804b5b5bbb28ed677934ded75e3acec)
gdzie:
– stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się ![{\displaystyle \gamma =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfd476bdd443212239e2084d513a20ec29b07c2)
Funkcja CES jest homogeniczna stopnia
Dla
jest quasi-wypukła, dla
quasi-wklęsła. Dla
i
jest ściśle wklęsła.
Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS)[3].
![{\displaystyle MRTS_{k,l}={\frac {\alpha k^{\frac {-1}{\sigma }}}{\beta l^{\frac {-1}{\sigma }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1449c78d8aee9eb214e4bc03b616724459feff)
po przekształceniu:
![{\displaystyle {\frac {k}{l}}=\left({\frac {\alpha MRTS_{l,k}}{\beta }}\right)^{\sigma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df7ef563a46eaf2a6fd16943da0e09c0059e4c4)
Po zlogarytmowaniu obu stron:
![{\displaystyle \ln {\frac {k}{l}}=\sigma \left(\ln {\frac {\alpha }{\beta }}+\ln |MRTS_{l,k}|\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f27c9e3235d21b85dd12849903036ebf7a0bf8)
Stąd elastyczność substytucji:
![{\displaystyle ES={\frac {\ln {\frac {k}{l}}}{\ln |MRTS_{l,k}|}}=\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5e5a9b1b1b9de70abb89c07f94a0bd15ba92a5)
Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci
można przedstawić jako[4]:
![{\displaystyle \min p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5fc2f3b2f2446b0cc514b24fe0e507123de0ba)
przy warunku:
![{\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e939ce55b0690522004c97b0e73b407b3be5219)
Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:
![{\displaystyle p_{1}-\lambda \rho {x_{1}}^{\rho -1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf598151be3a89f9513eb0769fb11c0c409b997)
![{\displaystyle p_{2}-\lambda \rho {x_{2}}^{\rho -1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e6127af95bffeba0bc4f7fec68d2c245d46153)
![{\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e939ce55b0690522004c97b0e73b407b3be5219)
Wyznaczamy
(1)
![{\displaystyle x_{1}^{\rho }=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4c7d1325342e0c485a943689586677ba4249d6)
![{\displaystyle x_{2}^{\rho }=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34265dcb21a80430e4f4c697036f7a1c4bdf69c5)
i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje
![{\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]=y^{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3c4265d20d2409cdf32d4020445068405b925c)
Wyznaczamy
i podstawiamy do równań z (1):
![{\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},y)=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4804ef1b86a8029b37ec0dd265d9aad26371f7ff)
![{\displaystyle x_{2}(p_{1},p_{2},y)=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d911040da3a88d456ea193d24d86a31adbf4c7d)
Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy
![{\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {\rho -1}{\rho }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224421c66179656e9bca881c2089d46d105188c4)
W ogólnym przypadku, gdzie
a za
przyjmiemy
funkcja kosztów przyjmuje postać:
W granicy dla
i
funkcja CES jest tożsama z funkcją Cobba-Douglasa[5]:
Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES
![{\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\rho }}\ln(\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32bf12ee12b54d93a03963987d6f20f56cd4162)
i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala
![{\displaystyle \lim _{\rho \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc47c36665d601806678bf81fd27481707deb9da)
stąd
Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli
funkcja jest z definicji tożsama z funkcją produkcji Leontiefa
![{\displaystyle Y=f(k,l)=\min\{\alpha k,\ \beta l\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6b32c0b6482a81bb279876a4aca93484ba9fb4)
Przy nieskończonej elastyczności, czyli
funkcja CES jest liniowa:
![{\displaystyle Y=f(k,l)=\alpha k+\beta l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138aa585c7892ab7a9f63611a947ed87eae0a239)
- ↑ R.M.R.M. Solow R.M.R.M., A contribution to the theory of economic growth, „The Quarterly Journal of Economics. 70”, 1956 . Brak numerów stron w czasopiśmie
- ↑ a b Samuelson i inni, Paul A. Samuelson, John R. Hicks, Kenneth J. Arrow, Gerard Debreu and Maurice F.C. Allais, Edward Elgar, 2010, ISBN 978-1-78536-225-5, OCLC 763140267 [dostęp 2020-05-01] . Brak numerów stron w książce
- ↑ FrancisF. Renaud FrancisF., Theory of Cost and Production Functions. By R. W. Shephard. Princeton: Princeton University Press, 1970. Pp. xi, 308., „The Journal of Economic History”, 31 (3), 1971, s. 721–723, DOI: 10.1017/s002205070007457x, ISSN 0022-0507 [dostęp 2020-05-01] .
- ↑ Hal R.H.R. Varian Hal R.H.R., Microeconomic analysis, wyd. 3rd ed, New York: Norton, 1992, ISBN 0-393-95735-7, OCLC 24847759 [dostęp 2020-05-01] . Brak numerów stron w książce
- ↑ Wing ChuenW.Ch. Suen Wing ChuenW.Ch., The structure of economics. A mathematical analysis, wyd. 3rd ed, Boston, Mass.: McGraw-Hill, 2001, ISBN 0-07-234352-4, OCLC 43757632 [dostęp 2020-05-01] . Brak numerów stron w książce
- R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978.
- P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948.
- M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980.
- Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.