Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego .
n {\displaystyle n} n sin ( 1 / n ) {\displaystyle n\sin(1/n)} 1 0,841471 2 0,958851 ... 10 0,998334 ... 100 0,999983
Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności . Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania , która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona , np. Lebesgue’a ). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes” , pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia oraz użycia go w ich wersjach rachunku różniczkowego i całkowego [1] . Oboje tłumaczyli istnienie granic w różny sposób, Newton porównywał je do ciągłego ruchu, że w każdym konkretnym punkcje czasu istnieje jakiś prędkość. Leibniz natomiast tłumaczył granicę na przykładzie krzywych eliptycznych , gdzie parabola dąży do elipsy i może być nieskończenie blisko elipsy, ale nie być jeszcze elipsą[2] .
Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej . Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy , a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass [3] .
Funkcja f : A → R {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} } określona na zbiorze A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ma w punkcie skupienia x 0 {\displaystyle x_{0}} tego zbioru granicę równą g , {\displaystyle g,} jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków
1. definicja Heinego:
dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla dowolnego n ∈ N , x n ∈ A , x n ≠ x 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,x_{n}\in A,\ x_{n}\neq x_{0}} oraz x n {\displaystyle x_{n}} dąży do x 0 , {\displaystyle x_{0},} ciąg wartości funkcji ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} dąży do g {\displaystyle g} gdy n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } [3] ; 2. definicja Cauchy’ego:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A ( 0 < | x − x 0 | < δ ⟹ | f ( x ) − g | < ε ) , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon ),} co czytamy następująco: dla każdej liczby ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje liczba δ > 0 {\displaystyle \delta >0} taka, że dla każdego x ∈ A {\displaystyle x\in A} z nierówności 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta } wynika nierówność | f ( x ) − g | < ε . {\displaystyle |f(x)-g|<\varepsilon .} 3. definicja przez ciągłość[4] : g {\displaystyle g} jest taką wartością, którą należy nadać funkcji f {\displaystyle f} w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} by była w tym punkcie ciągła:
h ( x ) = { f ( x ) dla x ≠ x 0 g dla x = x 0 {\displaystyle h(x)=\left\{{f(x){\text{ dla }}x\neq x_{0} \atop g{\text{ dla }}x=x_{0}}\right.} jest ciągła w x 0 . {\displaystyle x_{0}.} (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy x 0 {\displaystyle x_{0}} lub g {\displaystyle g} są równe + ∞ {\displaystyle +\infty } lub − ∞ {\displaystyle -\infty } wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami + ∞ {\displaystyle +\infty } i − ∞ . {\displaystyle -\infty .} Warunek 0 < | x − x 0 | {\displaystyle 0<|x-x_{0}|} w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy | f ( x 0 ) − g | < ε . {\displaystyle |f(x_{0})-g|<\varepsilon .} W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji h , {\displaystyle h,} bo sprowadza się ono do warunku | g − g | < ε , {\displaystyle |g-g|<\varepsilon ,} który jest oczywiście spełniony, bo ε > 0. {\displaystyle \varepsilon >0.}
Jeżeli istnieje granica funkcji f {\displaystyle f} w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} i jest równa g , {\displaystyle g,} to piszemy
f ( x ) → g {\displaystyle f(x)\to g} ( x → x 0 ) {\displaystyle (x\to x_{0})} i czytamy „ f ( x ) {\displaystyle f(x)} dąży do g , {\displaystyle g,} gdy x {\displaystyle x} dąży do x 0 {\displaystyle x_{0}} ”[4]
lub równoważnie
lim x → x 0 f ( x ) = g , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=g,} co czytamy: „limes f ( x ) {\displaystyle f(x)} przy x {\displaystyle x} dążącym do x 0 {\displaystyle x_{0}} równa się g {\displaystyle g} ”.
x → x 0 + ≠ x → x 0 − . {\displaystyle x\to x_{0}^{+}\neq x\to x_{0}^{-}.} Dlatego granica jako x → x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} nie istnieje. Nie istnieje granica
lim x → 0 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}~{\frac {1}{x}}} (żadna liczba, nawet 0, nie spełnia defnicji granicy). Natomiast istnieją obie granice jednostronne :
lim x → 0 + 1 x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}~{\frac {1}{x}}=+\infty } lim x → 0 − 1 x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}~{\frac {1}{x}}=-\infty } Nie istnieje granica
lim x → 0 sin 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}~\sin {\frac {1}{x}}} (żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Nie istnieją też granice jednostronne .
Istnieje granica lim x → ∞ 1 x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\frac {1}{x}}} i jest równa 0.
Istnieje granica lim x → 0 x ⋅ sin 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}~x\cdot \sin {\frac {1}{x}}} i jest równa 0.
Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej . Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną . Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).
Liczba g {\displaystyle g} jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną ) funkcji f {\displaystyle f} w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia x 0 {\displaystyle x_{0}} dziedziny, co zapisuje się
f ( x ) → g {\displaystyle f(x)\to g} przy x → x 0 − {\displaystyle x\to x_{0}^{-}} (odpowiednio: f ( x ) → g {\displaystyle f(x)\to g} przy x → x 0 + {\displaystyle x\to x_{0}^{+}} ) lub
lim x → x 0 − f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g} (odpowiednio: lim x → x 0 + f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g} ), gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla dowolnego n ∈ N x n ∈ A , x n < x 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}} (odpowiednio: x n > x 0 {\displaystyle x_{n}>x_{0}} ) oraz lim n → ∞ x n = x 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},} ciąg wartości funkcji ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} dąży do g {\displaystyle g} przy n → ∞ ; {\displaystyle n\to \infty ;} definicja Cauchy’ego ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A ( x 0 − δ < x < x 0 ⟹ | f ( x ) − g | < ε ) {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )} (odpowiednio: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A ( x 0 < x < x 0 + δ ⟹ | f ( x ) − g | < ε ) {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )} ). Funkcja f {\displaystyle f} ma w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} granicę niewłaściwą + ∞ , {\displaystyle +\infty ,} co zapisuje się
f ( x ) → + ∞ {\displaystyle f(x)\to +\infty } przy x → x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} lub
lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=+\infty ,} gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że x n ∈ A , x n ≠ x 0 {\displaystyle x_{n}\in A,x_{n}\neq x_{0}} oraz lim n → ∞ x n = x 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0}} ciąg wartości funkcji ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} dąży do + ∞ {\displaystyle +\infty } przy n → + ∞ ; {\displaystyle n\to +\infty ;} definicja Cauchy’ego ∀ M > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A ( 0 < | x − x 0 | < δ ⟹ f ( x ) > M ) . {\displaystyle \forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)>M).} Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą − ∞ : {\displaystyle -\infty {:}} trzeba tylko wszędzie zamienić + ∞ {\displaystyle +\infty } na − ∞ , {\displaystyle -\infty ,} a definicję Cauchy’ego zapisać tak:
∀ M > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A ( 0 < | x − x 0 | < δ ⟹ f ( x ) < − M ) . {\displaystyle \forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)<-M).} Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.
Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje Funkcja f {\displaystyle f} określona dla wszystkich x > a {\displaystyle x>a} (odpowiednio: x < a {\displaystyle x<a} ) ma granicę g {\displaystyle g} w plus (odpowiednio: minus ) nieskończoności , co zapisuje się
f ( x ) → g {\displaystyle f(x)\to g} przy x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } (odpowiednio: x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } ) lub
lim x → + ∞ f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }~f(x)=g} (odpowiednio: lim x → − ∞ f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }~f(x)=g} ), gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla każdego n ∈ N x n > a {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a} oraz x n → + ∞ {\displaystyle x_{n}\to +\infty } (odpowiednio: dla każdego n ∈ N x n < a {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}<a} oraz x n → − ∞ {\displaystyle x_{n}\to -\infty } ), ciąg wartości funkcji f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} dąży do g {\displaystyle g} przy n → ∞ ; {\displaystyle n\to \infty ;} definicja Cauchy’ego Asymptota pozioma y = 4 {\displaystyle y=4} ∀ ε > 0 ∃ α ∈ R ∀ x > α | f ( x ) − g | < ε {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon } (odpowiednio ∀ ε > 0 ∃ α ∈ R ∀ x < α | f ( x ) − g | < ε {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x<\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon } ).
Granica niewłaściwa w nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Funkcja f {\displaystyle f} określona na przedziale ( a , + ∞ ) {\displaystyle (a,+\infty )} ma w nieskończoności granicę niewłaściwą + ∞ , {\displaystyle +\infty ,} co zapisuje się
f ( x ) → + ∞ {\displaystyle f(x)\to +\infty } przy x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } lub
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }~f(x)=+\infty ,} gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla każdego n ∈ N x n > a {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a} oraz x n → + ∞ , {\displaystyle x_{n}\to +\infty ,} ciąg wartości funkcji f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} dąży do + ∞ {\displaystyle +\infty } przy n → ∞ ; {\displaystyle n\to \infty ;} definicja Cauchy’ego ∀ M > 0 ∃ α ∈ R ∀ x > α f ( x ) > M . {\displaystyle \forall _{M>0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;f(x)>M.} Analogicznie definiuje się:
granicę niewłaściwą − ∞ {\displaystyle -\infty } funkcji w + ∞ , {\displaystyle +\infty ,} granicę niewłaściwą + ∞ {\displaystyle +\infty } funkcji w − ∞ , {\displaystyle -\infty ,} granicę niewłaściwą − ∞ {\displaystyle -\infty } funkcji w − ∞ . {\displaystyle -\infty .} Jeśli funkcje f {\displaystyle f} i g , {\displaystyle g,} określone na zbiorze A ⊆ R , {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,} mają granice właściwe lim x → x 0 f ( x ) = a {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=a} i lim x → x 0 g ( x ) = b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~g(x)=b,} to: lim x → x 0 ( f ( x ) ± g ( x ) ) = a ± b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\pm g(x))=a\pm b,} lim x → x 0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = a ⋅ b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b,} lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = a b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {f(x)}{g(x)}}={\tfrac {a}{b}},} gdy g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} oraz b ≠ 0. {\displaystyle b\neq 0.} Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że lim x → ∞ sin x x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\tfrac {\sin x}{x}}=0,} nie oznacza, że istnieją granice lim x → ∞ sin x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~\sin x} czy lim x → ∞ 1 x . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}.} W podanym przykładzie granica lim x → ∞ sin x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~\sin x} nie istnieje, natomiast lim x → ∞ 1 x = 0. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}=0.} Twierdzenie o granicy funkcji złożonej . Jeśli funkcja f : A → R {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} } ma w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} granicę lim x → x 0 f ( x ) = y 0 , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=y_{0},} funkcja g : B → R {\displaystyle g\colon B\to \mathbb {R} } ma w punkcie y 0 {\displaystyle y_{0}} granicę lim y → y 0 g ( y ) = z 0 , {\displaystyle \lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0},} przy czym x 0 {\displaystyle x_{0}} i y 0 {\displaystyle y_{0}} są odpowiednio punktami skupienia zbiorów A ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle A\cap f^{-1}(B)} oraz B , {\displaystyle B,} przy czym f ( x ) ≠ y 0 {\displaystyle f(x)\neq y_{0}} dla każdego x {\displaystyle x} z pewnego sąsiedztwa punktu x 0 , {\displaystyle x_{0},} to lim x → x 0 ( g ∘ f ) ( x ) = lim y → y 0 g ( y ) = z 0 . {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~(g\circ f)(x)=\lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0}.} Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:
lim x → x 0 f ( x ) = ± ∞ ⟹ lim x → x 0 1 f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=0,} lim x → x 0 f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=0} oraz f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 ) {\displaystyle f(x)>0\;{\big (}f(x)<0{\big )}} w pewnym sąsiedztwie x 0 ⟹ lim x → x 0 1 f ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=\pm \infty ,} lim x → x 0 f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty } oraz c > 0 ⟹ lim x → x 0 c f ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}~cf(x)=\pm \infty ,} lim x → x 0 f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty } oraz c < 0 ⟹ lim x → x 0 c f ( x ) = ∓ ∞ , {\displaystyle c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}cf(x)=\mp \infty ,} lim x → x 0 f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty } oraz 0 < a ⩽ h ( x ) {\displaystyle 0<a\leqslant h(x)} w pewnym sąsiedztwie x 0 ⟹ lim x → x 0 f ( x ) ⋅ h ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\pm \infty ,} lim x → x 0 f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty } oraz h ( x ) ⩽ a < 0 {\displaystyle h(x)\leqslant a<0} w pewnym sąsiedztwie x 0 ⟹ lim x → x 0 f ( x ) ⋅ h ( x ) = ∓ ∞ . {\displaystyle x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\mp \infty .} ↑ Jahnke 2003 ↓ , s. 82-84,92-94. ↑ Jahnke 2003 ↓ , s. 99. ↑ a b granica , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-30] . ↑ a b Witold Kleiner , Analiza matematyczna, t. 1 , Państwowe Wydawnictwo Naukowe , Warszawa 1986, ISBN 83-01-06461-7 , s. 103. Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
Piotr Stachura, Wprowadzenie do granicy funkcji w nieskończoności , 8 maja 2019. Szymon Charzyński, Wprowadzenie do obliczania granicy funkcji w punkcie , 12 marca 2014. Szymon Charzyński, Granica złożenia funkcji gdy granica funkcji wewnętrznej nie istnieje , 18 maja 2021. Szymon Charzyński, Granica złożenia funkcji gdy granica funkcji zewnętrznej nie istnieje , 26 maja 2021. Szymon Charzyński, Granice funkcji przedziałami ciągłych , 20 marca 2022.