Wartość bezwzględna – prosty przykład funkcji, która ma granice niewłaściwe w nieskończoności; konkretniej w obu nieskończonościach ma granicę niewłaściwą dodatnią (+∞).Funkcja y = 1 / x 2 {\displaystyle y=1/x^{2}} x = 0 {\displaystyle x=0} Funkcja odwrotności y =1/x nie ma nigdzie granic niewłaściwych, jednak ma w zerze niewłaściwe granice jednostronne – z prawej strony dodatnią, a z lewej ujemną. Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności ; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne , to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych .
Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych [potrzebny przypis ] . Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.
Definicje sformułowane przez Heinego .
[ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja f {\displaystyle f} ( a , ∞ ) , {\displaystyle (a,\infty ),} − ∞ ⩽ a < ∞ . {\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .} g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} ∞ , {\displaystyle \infty ,}
lim x → ∞ f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=g} wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ( x n ) ∀ ( x n ) ⊂ ( a , ∞ ) [ ( lim n → ∞ x n = ∞ ) → ( lim n → ∞ f ( x n ) = g ) ] . {\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].} [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja f {\displaystyle f} ( − ∞ , a ) , {\displaystyle (-\infty ,a),} − ∞ ⩽ a < ∞ . {\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .} g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} − ∞ , {\displaystyle -\infty ,}
lim x → − ∞ f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=g} wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ( x n ) ∀ ( x n ) ⊂ ( − ∞ , a ) [ ( lim n → ∞ x n = − ∞ ) → ( lim n → ∞ f ( x n ) = g ) ] . {\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].} [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja f {\displaystyle f} ( a , ∞ ) , {\displaystyle (a,\infty ),} − ∞ ⩽ a < ∞ . {\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .} f {\displaystyle f} ∞ {\displaystyle \infty } ∞ , {\displaystyle \infty ,}
lim x → ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty } wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ( x n ) ∀ ( x n ) ⊂ ( a , ∞ ) [ ( lim n → ∞ x n = ∞ ) → ( lim n → ∞ f ( x n ) = ∞ ) ] . {\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].} [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja f {\displaystyle f} ( − ∞ , a ) , {\displaystyle (-\infty ,a),} − ∞ ⩽ a < ∞ . {\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .} f {\displaystyle f} − ∞ {\displaystyle -\infty } ∞ , {\displaystyle \infty ,}
lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=\infty } wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ( x n ) ∀ ( x n ) ⊂ ( − ∞ , a ) [ ( lim n → ∞ x n = − ∞ ) → ( lim n → ∞ f ( x n ) = ∞ ) ] . {\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].} [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja f {\displaystyle f} ( a , ∞ ) , {\displaystyle (a,\infty ),} − ∞ ⩽ a < ∞ . {\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .} f {\displaystyle f} ∞ {\displaystyle \infty } − ∞ , {\displaystyle -\infty ,}
lim x → ∞ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty } wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ( x n ) ∀ ( x n ) ⊂ ( a , ∞ ) [ ( lim n → ∞ x n = ∞ ) → ( lim n → ∞ f ( x n ) = − ∞ ) ] . {\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].} [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja f {\displaystyle f} ( − ∞ , a ) , {\displaystyle (-\infty ,a),} − ∞ ⩽ a < ∞ . {\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .} f {\displaystyle f} − ∞ {\displaystyle -\infty } − ∞ , {\displaystyle -\infty ,}
lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=-\infty } wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ( x n ) ∀ ( x n ) ⊂ ( − ∞ , a ) [ ( lim n → ∞ x n = − ∞ ) → ( lim n → ∞ f ( x n ) = − ∞ ) ] . {\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].} Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]: pojęcia ciągi ogólne ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów inne przykłady twierdzenia powiązane pojęcia
French
Deutsch
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82880d6e5f77677e8b811d8fe7b17127f85031b)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48735ac3a1feccbf4eb8c66ba2d7799a25a2ac00)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ab679aae3ed9b152ea8c05ee89e1c9cbab498b)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7154307b767b8ddb509bd8c4718b035afaac7dae)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84927fca61fb77dcc782f87be207bf2c34168cfe)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f51b47d3aa710caa508b87f9e68726486b942f)
Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19].
