Wzór Stirlinga – wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu wartość silni [1] :
n ! ≈ ( n e ) n 2 π n {\displaystyle n!\approx {\bigg (}{\frac {n}{e}}{\bigg )}^{n}{\sqrt {2\pi n}}} (1)
Wzór ten daje dobre przybliżenie dla dużych liczb n . {\displaystyle n.}
Formalnie: lim n → ∞ n ! 2 π n ( n e ) n = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.}
Przybliżona, często używana postać logarytmiczna:
ln n ! ≈ n ln n − n . {\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n.} Wzór Stirlinga stosuje się także dla obliczania przybliżonej wartości funkcji gamma , która rozszerza funkcję silnia na zbiór liczb zespolonych .
Nazwa pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka: Jamesa Stirlinga .
Wzór, wraz z precyzyjnym oszacowaniem błędu, może być wyprowadzony następująco. Zamiast przybliżać n ! , {\displaystyle n!,} weźmy logarytm naturalny
ln n ! = ln 1 + ln 2 + … + ln n . {\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\ldots +\ln n.} Następnie, aby znaleźć przybliżenie wartości ln ( n ! ) , {\displaystyle \ln(n!),} stosujemy wzór Eulera-Maclaurina , podstawiając f ( x ) = ln ( x ) : {\displaystyle f(x)=\ln(x){:}}
ln ( n ) ! = n ln n − n + 1 − ln n 2 + ∑ k = 2 m B k ( − 1 ) k k ( k − 1 ) ⋅ ( 1 n k − 1 − 1 ) + R , {\displaystyle \ln(n)!=n\ln n-n+1-{\frac {\ln n}{2}}+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)}}\,\cdot \,\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R,} gdzie B k {\displaystyle B_{k}} to liczba Bernoulliego , a R {\displaystyle R} jest resztą wzoru Eulera-Maclaurina .
Dalej z obu stron bierzemy granicę,
lim n → ∞ ( ln n ! − n ln n + n − ln n 2 ) = 1 + ∑ k = 2 m B k ( − 1 ) k k ( k − 1 ) + lim n → ∞ R . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\frac {\ln n}{2}}\right)=1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R.} Niech y {\displaystyle y} równa się powyższej granicy. Łącząc powyższe dwa wzory, dostajemy wzór przybliżony w postaci logarytmicznej:
ln n ! = ( n + 1 2 ) ln n − n + y + ∑ k = 2 m B k ( − 1 ) k k ( k − 1 ) n k − 1 + O ( 1 n m ) , {\displaystyle \ln n!=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln n-n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),} gdzie O(·) to notacja dużego O .
Niech obie strony równania będą wykładnikami funkcji wykładniczej oraz wybierzmy jakąś konkretną dodatnią liczbę całkowitą , np. 1. Dostajemy wyrażenie z nieznanym wyrazem e y . {\displaystyle e^{y}.}
n ! = e y n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ) . {\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).} Nieznany wyraz e y {\displaystyle e^{y}} może być wyznaczony poprzez wzięcie granicy po obu stronach przy n {\displaystyle n} dążącym do nieskończoności oraz używając iloczynu Wallisa . Wartością e y {\displaystyle e^{y}} jest 2 π . {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}.} Otrzymujemy wzór Stirlinga:
n ! = 2 π n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ) . {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).} Wzór może być również wyprowadzony poprzez wielokrotne całkowanie przez części . Wyraz wiodący może być znaleziony poprzez metodę największego spadku .
Szybkość zbieżności i oszacowanie błędu [ edytuj | edytuj kod ] Przykład porównania jakości przybliżenia dla wzorów (1) (wersja popularna) oraz (2) (wersja dokładniejsza, λ = ( 12 n ) − 1 {\displaystyle \lambda =(12\ n)^{-1}} ). Dla n = 140 n! jest wyznaczona z dokładnością do 9 cyfr znaczących. Dokładniej,
n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n , {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}},} (2)
przy
1 12 n + 1 < λ n < 1 12 n . {\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.} Tak naprawdę, wzór Stirlinga jest pierwszym przybliżeniem następującego szeregu (szeregu Stirlinga):
n ! = 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + … ) . {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\ldots \right).} Przy n → ∞ , {\displaystyle n\to \infty ,} błąd w seriach o skończonej długości jest co najwyżej równy pierwszemu pominiętemu wyrazowi. Jest to przykład rozwinięcia asymptotycznego .
Rozwinięcie asymptotyczne logarytmu również jest nazywane szeregiem Stirlinga:
ln n ! = n ln n − n + 1 2 ln ( 2 π n ) + 1 12 n − 1 360 n 3 + 1 1260 n 5 − 1 1680 n 7 + … {\displaystyle \ln n!=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\ldots } W tym przypadku błąd, wskutek pominięcia dalszych wyrazów, jest zawsze tego samego znaku i tego samego rzędu, co pierwszy pominięty wyraz.
Wzór Stirlinga dla funkcji gamma [ edytuj | edytuj kod ] Porównanie aproksymacji Stirlinga z funkcją gamma Wzór Stirlinga ma zastosowanie do przybliżonego obliczania funkcji gamma ; funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych innych niż liczby całkowite niedodatnie; jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest większa od zera, ℜ ( z ) > 0 , {\displaystyle \Re (z)>0,} to
ln Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) ln z − z + ln 2 π 2 + 2 ∫ 0 ∞ arctg t z exp ( 2 π t ) − 1 d t . {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {\ln {2\pi }}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctg} {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}dt.} Powtarzane całkowanie przez części daje rozwinięcie asymptotyczne
ln Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) ln z − z + ln 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ B 2 n 2 n ( 2 n − 1 ) z 2 n − 1 , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {\ln {2\pi }}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},} gdzie B n {\displaystyle B_{n}} jest n {\displaystyle n} -tą liczbą Bernoulliego . Wzór jest poprawny dla modułu z z , {\displaystyle z,} mianowicie | arg z | < π − ε , {\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon ,} gdzie ε {\displaystyle \varepsilon } jest dodatni. Błąd przybliżenia :
O ( z − m − 1 / 2 ) {\displaystyle O(z^{-m-1/2})} dla użytych m {\displaystyle m} wyrazów. Zbieżna postać wzoru Stirlinga [ edytuj | edytuj kod ] Wyznaczenie zbieżnej postaci wzoru Stirlinga wymaga oszacowania
∫ 0 ∞ 2 arctg t z exp ( 2 π t ) − 1 d t = ln Γ ( z ) − ( z − 1 2 ) ln z + z − 1 2 ln ( 2 π ) . {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {2\operatorname {arctg} {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi ).} Jedną z metod jest uśrednianie zbieżnych serii odwróconych rosnących eksponent . Jeśli z n ¯ = z ( z + 1 ) … ( z + n − 1 ) , {\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\ldots (z+n-1),} wtedy
∫ 0 ∞ 2 arctg t z exp ( 2 π t ) − 1 d t = ∑ n = 1 ∞ c n ( z + 1 ) n ¯ , {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {2\operatorname {arctg} {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}},} gdzie:
n c n = ∫ 0 1 x n ¯ ( x − 1 2 ) d x . {\displaystyle nc_{n}=\int \limits _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx.} Z tego otrzymujemy następującą postać ww. wzoru
ln Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) ln z − z + ln 2 π 2 {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {\ln {2\pi }}{2}}} + 1 12 ( z + 1 ) + 1 12 ( z + 1 ) ( z + 2 ) + 59 360 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) + … , {\displaystyle +{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+\ldots ,} który zbiega, gdy ℜ ( z ) > 0. {\displaystyle \Re (z)>0.}
Wzór został odkryty przez Abrahama de Moivre w postaci
n ! ∼ c ⋅ n n + 1 / 2 e − n , c = const . {\displaystyle n!\sim c\cdot n^{n+1/2}e^{-n},\quad c=\operatorname {const} .} Wkładem Stirlinga było pokazanie, że stałą c {\displaystyle c} jest 2 π . {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}.} Bardziej precyzyjną wersję podał Jacques Binet .
Przybliżenie Stirlinga „pierwszego rzędu”, n ! = n n , {\displaystyle n!=n^{n},} zostało użyte przez Maxa Plancka w jego artykule z roku 1901, w którym wyprowadził on wzór na promieniowanie ciała doskonale czarnego . Przybliżenie to powiązało zaproponowaną przez Plancka koncepcję elementów energii z wzorem na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie było później często używane w teorii kwantowej , na przykład przez Louis de Broglie’a . Dla bardzo dużych n {\displaystyle n} wykres przybliżenia „pierwszego rzędu” wzoru Stirlinga, zrobiony w skali logarytmicznej , jest prawie równoległy do linii otrzymanej z koncepcji odseparowanych od siebie kwantów światła .
Jednak entropia układu, obliczona przy zastosowaniu przybliżenia Stirlinga „pierwszego rzędu”, jest inna, przy czym stosunek tych wielkości staje się silnie nieliniowy dla małych n . {\displaystyle n.} Można tylko spekulować, że podobny wpływ na entropię systemu mogłoby mieć wprowadzenie do opisu zasady nieoznaczoności , spinu fotonu i innych wielkości fizycznych nieznanych w czasie, gdy powstawała stara teoria kwantowa. Brak jest doświadczalnej weryfikacji związków między użytym przez Plancka przybliżeniem Stirlinga „pierwszego rzędu” i najnowszymi teoriami fizycznymi.
Abramowitz M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions , http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm . Paris R.B., Kaminsky D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , 2001. Whittaker E.T. , Watson G.N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3 . pojęcia definiujące ciągi ogólne ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów liczb naturalnych inne przykłady ciągów liczb twierdzenia powiązane pojęcia