Funkcja pierwsza omega, funkcja omega (ang. Omega prime function) – jedna z dwóch funkcji arytmetycznych zliczających dzielniki pierwsze danej liczby naturalnej. Pierwsza z nich, czyli
zlicza dzielniki pierwsze bez wielokrotności, a druga, czyli
zlicza je wraz z wielokrotnościami[1].
Jeśli
jest rozkładem liczby
na czynniki pierwsze, to
![{\displaystyle \omega (n)=\omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530ffb36c78861bbcf1b241ce6e0efc63e7a0910)
oraz
![{\displaystyle \Omega (n)=\Omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f54de75964e7f6456ebb30448c7e9a24275f63)
Dla
przyjmujemy
Funkcja
jest addytywna, a
jest całkowicie addytywna.
Pierwszą funkcję można zdefiniować jako
![{\displaystyle \omega (n)=\sum _{p|n}1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764475710cfbf9bc31cf9d123a8f44766bda2d24)
tzn. sumowanie 1 po wszystkich dzielnikach pierwszych
a drugą
![{\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }|n}1=\sum _{p^{\alpha }||n}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25843badb5dc830368f1ddcb8fc158fb55b440a)
gdzie zapis
oznacza, że
ale
W ogólności zachodzi nierówność
przy czym
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest liczbą bezkwadratową.
Powiązanie z innymi funkcjami arytmetycznymi[edytuj | edytuj kod]
Za pomocą funkcji
można zdefiniować funkcje Liouville’a i Möbiusa.
Dla każdej liczby naturalnej
zachodzi
i dla każdej
bezkwadratowej zachodzi
- ↑ Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, 1976 (Undergraduate Texts in Mathematics), DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-12-21] . Brak numerów stron w książce
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | |
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|